分類討論的思想方法
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分類討論的思想方法范文第1篇
當前，數學思想和數學思想方法多種多樣。一個好的數學思想能輕松的解決生活中的實際問題，一種好的數學思想方法能便捷的使我們學習理解一個數學思想。本篇論文主要論述分類討論思想和一次函數及分類討論思想在一次函數中的應用。目前國內外論述分類討論思想在一次函數中的應用的論文不勝枚舉，大多都是從函數的概念、性質、圖像、實際應用和解題需求這五個方面分類。首先，分類討論思想是基本數學思想方法之一。它是一種解決生活中的實際問題的邏輯方法。合理地使用分類討論思想，我們可以使繁瑣的問題簡單化，使解決問題的思路更有條理。分類討論思想在教學中的應用實際就是“化整為零，各個擊破”的教學策略。這也是為什么教材每個章節需要分各個小節。同時，分類討論思想應用到數學教學中，有助于提高學生的邏輯性、條理性、概括性，對于培養學生嚴謹的科學態度和邏輯的數學思維有重要意義。使學生掌握分類討論的思想方法有助于提高學生解題能力和分析問題的效績。其次，一次函數是重要的幾類函數之一，合理的利用好一次函數可以便捷的解決生產和生活中的諸多問題。近年來的考綱都有應用書本知識解決實際問題的考點，諸如成本最小化、經濟效益最大化、方案最優化等等。可見掌握函數思想的重要性，因此學生應該學好一次函數。最后，學習一次函數常用到分類討論的思想方法。分類討論思想應用到一次函數中使教學思路更有條理，教學方案更清晰明了。
一、淺談分類討論思想
（一）分類討論思想的起源
大家都知道數學思想方法的兩大源頭分別是中國的《九章算術》和古希臘的《幾何原本》。隨著古今學者的研究發展，數學思想方法已經出現了很多種。分類討論思想方法就是眾多的基本數學思想方法之一。
分類現象自古就存在。遠古時期，人們收集到的食物會分類保存。能長時間保存的和不能長時間保存的、可以播種的和不能播種的植物，能圈養和不能圈養的動物。一個狩獵團體根據體質差異也有分工，行動敏捷的成員負責吸引獵物的注意力，身體壯實的負責對獵物造成傷害，臂力大的負責投擲標槍等等。現在分類現象隨處可見，各種各樣的職業共同推動社會發展，大小不一的零件使機器正常運行。正是因為分類思想，人們有條理的生活著，避免了很多的差錯與混亂現象。分類思想是古老文明的基本思想。
司馬遷編撰的《史記》 [1]卷六十五《孫子吳起列傳第五》曾記載“田忌賽馬”的故事，齊王與田忌賽馬，雙方按馬的速度將馬分為三等，齊王同等次的馬的速度均高于田忌。田忌將馬出場次序換位以下等馬對齊王的上等馬，以上等馬對齊王的中等馬，以中等馬對齊王的下等馬贏得比賽。田忌這種根據對方的馬出場次序而相應的對自己的馬出場次序作出調整的思想方法就是分類討論思想。正是因為這一思想，田忌巧妙地贏得了比賽的勝利。為古代人的智慧史添上了絢麗的一筆。通過這個事例我們知道分類討論思想的重要性，分類討論思想其實與我們的生活息息相關。
現在已經有很多的學者專家都有總結分類思想的含義，在《數學思想方法教學研究導論》的第253頁指出：“分類是基本的邏輯方法之一，數學中的分類是按照數學對象的相同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法。分類以比較為基礎，通過比較識別出數學對象之間的異同點，然后根據相同點將數學對象歸并為較大的類，根據差異點將數學對象劃分為較小的類，從而將數學對象區分為具有一定從屬關系的等級系統。”
隨著數學的發展，分類討論思想方法逐漸演化成數學思想方法的主要思想方法之一。同時，也正使得數學這門學科使得分類思想方法更加地深化與細化。如今，分類討論思想方法已經是中高考試中的常考點。
（二）分類討論思想的概念界定
我們先了解分類討論思想的漢語釋義。“分類”一詞在辭海中的釋義為根據事物的特點分別歸類。“討論”一詞在辭海中的釋義為就某一問題進行商量或辯論。“思想”一詞在辭海中指思維活動的結果，屬于理性認識。從分類討論思想的漢語釋義可以知道分類討論思想先分別歸類再逐一商量討論。
分類思想和分類討論有什么區別與聯系呢？按從屬關系劃分，分類討論是一個種概念，分類思想是一個屬概念。分類思想并不專屬于數學領域，它是人們早期認識世界面貌、改善生活條件的一種思維形態，即把復雜的事物依據其種類、性質或品級進行劃分或歸類。分類討論是分類思想實際應用的一種具體形式，它要求把事物進行劃分歸類，把分類的若干個種類進行逐一的研究討論，最后把分類的若干討論結果歸納總結。
在數學領域各學者對于分類討論思想方法的概念界定幾乎大同小異，對于分類討論思想方法的概念幾乎不存在爭議。顧泠沅教授所著的《數學思想方法》有提到分類討論這一思想方法。在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現化整為零、集零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，有關分類討論思想的數學問題是比較繁瑣復雜的，通常安排在解答題板塊，所占分值比較高。所以在高考試題中占有重要的位置。
（三）分類討論思想的分類原則與方法
分類討論思想的分類原則：（1）所要分類的對象必須是確定的（2）分類出的各級內容必須是完整的，不能犯遺漏某一級這種錯誤（3）應該按同一標準分類（4）各個集域應當是互斥的，不出現重復的集域（5）分類必須逐級進行，不能越級分類。分類討論思想的分類方法：明確分類討論的對象，確定對象的所有內容，明_分類的標準，將對象正確進行分類；逐級進行討論，獲取階段性結果，歸納小結，綜合結論。
三、分類討論思想在一次函數中的應用
分類討論思想在一次函數中的應用主要體現在一次函數的概念、性質、圖像與實際應用這幾個方面。
（一）分類討論思想在一次函數概念方面的應用
如何來辨別一個函數關系是不是一次函數？前面已經給出了一次函數的概念。一般地。形如y=kx+b（k，b是常數，k≠0）的函數，叫做一次函數（linear function）.當y=kx+b中的k是變量或者x的指數是變量時，該變量取不同的值會有不同的結果，因此就需要是用分類討論的思想方法逐一討論。
那么我們來看這道例題：
例4 已知函數y=（m-5）x2m-1+3x-1，當m為何值時，該函數是一次函數？
分析：根據函數概念，本題應該分為三種情況討論：當m-5=0時，函數是一次函數；當2m-1=1時，函數是一次函數；當2m-1=0時，函數是一次函數。綜上所述，m=5或1或 。
（二）分類討論思想在一次函數性質方面的應用
我們已經知道一次函數具有單調增減性，一次函數的增減性在生活中經常用到。一次函數要么遞增要么遞減，因此又是也需要用到分類討論思想。
例5 一次函數y=kx+b，當2≤ x ≤ 4時，10≤ y ≤ 14。求的值。
分析：此題中一次函數的單調性尚不明確，因此需要分為兩種情況討論：
當函數單調遞增時，即當x=5時，y=10，當x=4時，y=14，因此k=2， b=6
故=3，當函數是單調遞減時，即當x=2時，y=14，當x=4時，y=10，因此k=-2， b=18故=-9。
（三）分類討論在一次函數圖像位置方面的應用
如果一次函數y=kx+b中的k或b不明確那么一次函數圖像在平面直角坐標系中的位置也將不明確，因此很多時候需要用到分類討論思想來解決相關問題。
例6 已知正比例函數y=x和一次函數y=kx+2的函數圖像與x軸圍成了一個面積為1的三角形，求一次函數的解析式。
分析：此題中一次函數的斜率并不明確，因此函數圖像的位置需要分為兩類。因為已經知道兩個函數圖像與x軸圍成的三角形面積是1，且一次函數經過定點（0，2）根據斜率將一次函數分為遞增和遞減兩類：當一次函數單調遞增時，一次函數經過x軸上的點A（-1，0），一次函數解析式為y=2x+2；當一次函數單調遞減時，一次函數經過x軸上的點E（2，0），一次函數的解析式為y=-x+2。所以總結兩類討論，一次函數的解析式為y=2x+2或y=1x+2。作圖如圖3.1和圖3.2。
（四）分類討論在一次函數實際問題方面的應用
一次函數應用到實際問題中已經是常考點，這使數學更貼近生活，培養學生靈活運用知識的能力。而在一些典型題型中常需要用到分類討論思想。
例7 小明準備換電話卡，現在他已經了解了兩種電話卡的套餐。A卡套餐為每月通話不超過100分鐘，則按每分鐘0.2元收費，若每月通話大于100分鐘則超出時長按每分鐘0.16元收費；B卡套餐為每月通話不超過200分鐘按每分鐘0.2元收費，若每月通話超過200分鐘超出時長則按每分鐘0.12元收費。如果小明每月通話 分鐘，請問他該如何選擇套餐最劃算？
分析：此題尚不明確小明每月通話時長，因此需要分三種情況討論：
當0≤ x ≤ 100時，顯然兩種卡消費一樣。
當100≤ x ≤ 200時，A卡有優惠，B卡無優惠，因此選擇A卡。
當x>200時，設A、B兩卡消費分別為y1、y2。A卡消費為y1=0.16x+20，B卡消費為y2=0.12x+40，當y1=y2時，x=500因此又需要分三種情況討論：當x=500時，A、B兩卡消費一樣，當200500時，y1>y2選B卡更劃算。
分類討論思想這是數學基本思想方法之一。學生熟練掌握了這一思想方法，將更有邏輯有條理的分析處理問題。一次函數是最基本的函數，它對于解決實際生活生產需要有重要意義。教師在教學一次函數時應當科學的選取適當的教W方法，務必是學生理解掌握一次函數，并將其遷移到實際問題中去。
參考文獻：
[1]司馬遷，史記，北京聯合出版社，2016.
[2]王鴻鈞，孫宏安，數學思想方法引論，人民教育出版社，1992.
[2]義務教育課程標準教師學習指導，2011.
[3]數學八年級下冊，人民教育出版社，2013.
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[6]姬梁飛，科教文匯，論分類討論思想方法，2017.
分類討論的思想方法范文第2篇
一、符號表述與換元的思想王鵬方法
符號表述是數學語言的重要特色，它能使數學思維過程更加概括、簡明.一句復雜的數學語言在用數學符號來表述時，讓人一看就明白.如“甲乙兩數和的三倍與它們差的兩倍的差”可簡單記為“3（x+y）-2（x-y）”，可見符號表述反映了數學思維的概括性和簡潔性.初一學生所學習的數學知識剛剛從數過渡到式，用字母代替數的過程是從感性認識到理性認識的轉化過程.列代數式、求代數式的值是換元思想方法的初始時期，由此開始，換元的思想方法便貫穿在整個中學數學教學過程中，如在方程、方程組、不等式教學中，都可強化對“元”的認識，滲透換元的思想方法.
二、化歸的思想方法
化歸，就是把問題進行適當的變換，將其轉化為已經解決或者比較容易解決問題的思想方法.這種方法的關鍵在于尋找待求問題與已有知識結構的邏輯關系.中學數學處處都體現出化歸的思想，如化繁為簡、化難為易，化未知為己知，化高次為低次等，它是解決問題的一種最基本的思想.在具體內容上，有加法與減法的轉化，乘法與除法的轉化，乘方與開方的轉化，以及添加輔助線等都是實現轉化的具體手段.因此，在教學中首先要讓學生認識到，常用的很多數學方法實質上就是轉化的方法，從而確信轉化是可能的，而且是必須的.其次要結合具體教學內容進行有意識的訓練，使學生掌握這一具有重大價值的思想方法.在具體教學過程中設出問題讓學生去觀察，探索轉化的路子.例如在求解分式方程時，運用化歸的方法，將分式方程轉化為整式方程，進而求得分式方程的解，又如求解二元一次方程組時的“消元”，解一元二次方程時的“降次”都是化歸的具體體現.
三、數形結合的思想方法
著名數學家華羅庚說過：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛……”.數形結合的思想，可以使學生從不同的側面理解問題，加深對問題的認識，提供解決問題的方法，有利于培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力.
1.用“數”解“形”，利用數解決圖形的問題
利用數形結合思想解題時，常用代數知識去解決圖形問題.這時，應利用代數知識的運算法則或固定的數量關系圖分析圖形中的量，找到各個量之間的數量關系，進而明確圖形特征.對相反數、絕對值的概念、有理數的大小比較、函數等知識的學習時，充分利用了數形結合的思想，很大程度上減輕了學生學習這些知識的難度，更加便于對知識的理解.
2.以“形”示“數”，用形解決數的問題
對于一些較抽象的代數問題，我們常利用已知信息去構造與之相應的圖形，根據圖形特征來找到代數問題的答案.
例如若m，n（m
分析本題從方程的角度求解，難度較大，將其轉化為求函數y1=1和y2=（x-a）（x-b）圖象交點的橫坐標，即：利用函數圖象求解方程組.
解函數圖象如圖1.
所以，m，n，a，b 的大小關系是 m
3.“數”“形”結合
“數”“形”結合是指在一些問題中不僅僅只是以“數”解“形”，或以“形”示“數”，而是需要“數”“形”互變，既要由“數”的嚴密聯系到直觀的“形”，還要由直觀的“形”聯系到“數”的嚴密，這類問題在解決過程中常需要同時從已知和未知條件入手，分析其中的聯系，找到“數”“形”的內在聯系，這方面的運用在解析幾何中較常見.例如：如在學習完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2時，我們可構造出他們的直觀模型，通過“數”與“式”之間的對比來驗證、理解，從而讓學生掌握公式.因此數形結合能夠更直觀、更形象地實現已知與未知之間的轉化，充分體現解題的技巧性.
四、類比的思想方法
類比是最有創造性的一種思想方法，它是根據兩個或兩類對象之間有部分屬性相同，從而推出它們的某種屬性也相同的推理形式.類比不僅是思維的一種重要形式，而且是引入新概念的一種重要方法.例如，分式基本性質的引入是通過具體例子引導學生回憶小學數學中分數通分、約分的根據――分數的基本性質，再用類比的方法得出分式的基本性質.
五、分類的思想方法
中學數學分代數部分和幾何部分兩大類，采用不同方法進行研究，就是分類思想的體現；從具體內容上看，初中數學中實數的分類，式的分類，三角形的分類，方程的分類，函數的分類等等，也是分類思想的具體體現.對學習內容進行分類，降低了學習難度，增強了學習的針對性，在教學需要時啟發學生按不同的情況去對同一對象進行分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想.在初中數學中，分類討論的問題主要表現三個方面：（1）有的概念、定理的論證包含多種情況，這類問題需要分類討論，如幾何中三角形的分類、四邊形的分類、角的分類、圓周角定理等的證明，都涉及到分類討論.（2）解含字母系數或絕對值符號的方程、不等式，討論算術根，正比例和反比例函數中的比例系數，二次函數中二次項系數a與圖象的開口方向等，由于這些系數的取值不同或要去掉絕對值符號就有不同的結果，這類問題需要分類討論.（3）有的數學問題，雖然結論唯一，但導致這結論的前提不盡相同，這類問題也要分類討論.分類時要注意①標準相同；②不重不漏；③分類討論應當逐級進行，不能越級.
分類討論的思想方法范文第3篇
中學數學中重要的思想方法有：函數與方程的思想方法、分類討論的思想方法、化歸與轉化的思想方法、數形結合的思想方法。
一、函數與方程的思想方法
1、函數與方程思想方法的含義
函數與方程的思想是中學數學的基本思想。
（1）函數的思想，是用運動和變化的觀點，集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。
（2）方程的思想，就是分析數學問題中的變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質分析、轉化問題，使問題獲得解決。
（3）函數思想與方程思想是密切相關的。對于函數y=f（x），當y=0時，就轉化為方程f（x）=0，也可以把函數式y=f（x）看作二元方程y- f（x）=0。方程問題也可以轉化為函數問題解決，如解方程f（x）=0，就是求函數y=f（x）的零點。
二、函數與方程思想方法的應用
1、用函數觀點去處理數列問題。
（3）公比q為參數的等比數列前n項和及求極限問題。
（4）解析幾何中含參數的直線與圓錐曲線的方程問題。
如：對軌跡方程中參數a 的討論，確定曲線的類型。對直線的斜率分存在和不存在進行討論。
（5）在立體幾何中，根據直線和平面所成角的概念，根據線與線，線與面，面與面的位置關系分類討論。
如：在同一平面的兩條直線的位置關系分平行或相交進行討論。
（6）排列組合應用問題，根據加法原理分類計算。
注意區分“分類”與“分段”的區別：分類是解決兩個對象的方法，結果對于每一類情況都要給出問題的結論；分段是解決一個對象的方法，結果對于每種情況的結論要合并。
三、化歸與轉化的思想方法
分類討論的思想方法范文第4篇
一、應用實例講解數學思想
數學知識的學習與掌握必須由聽講、練習、復習等過程鞏固，數學思想方法必須經過反復的練習才能讓學生真正領悟。通過反復的練習、逐步完善才能讓學生形成利用數學思想方法解決問題的意識，構建自我數學思想方法解題系統。函數章節作為高中數學教學的重要組成部分，開展函數教學，重點培養學生的分析、綜合思維方法，有利于學生依據已知條件，分析、討論對知識進行整合，幫助學生建構整體的數學思維，提升學生進行自主學習獲得的成就感。
解析：這是一道較為典型的函數例題，老師根據數學思想的要求傳授學生解題的方法，也可以依據這一道例題對其它相關例題的解題方法進行概括性的講授，確保學生遇到這類題目可以快速、準確的找出解題方法。
本例題構造出奇函數g（x），再借助奇函數定義解題非常容易。這道例題也展現出構造的數學思想，實際解題時，我們一般會構造一個比較熟悉的模式，從而將不熟悉的轉化為所熟悉的問題進行思考、解答。例如，學習三角函數時，經常會運用輔助角公式構造一角一函數已有的模式。由此可知，構造法有助于學生多方位的思考問題，對提升學生學習的深度和廣度具有重要意義。
二、應用數形結合思想
數形結合作為數學解題中比較常見的思想方法，運用這種方法可將部分抽象的數學問題轉變成可直觀的內容，促使問題求解的問題更加簡潔。
解析：數形結合思想是數學教學的重要思想之一，主要包括“以形助數、以數輔形”這兩方面的內容，求解幾何問題也是研究數形結合的重要手段。同時，在求解方程解的個數及函數零點問題中也能應用。以形助數和以數輔形可以讓繁雜的問題變得更加直觀、形象，提升數學問題的嚴謹性和規范性。因此，對部分抽象的函數題目，數學教師應正確引導學生運用數形結合的思想方法，使得解題思路峰回路轉，變得清晰、簡單。
三、應用分類討論思想
分類討論思想就是依據數學對象本質屬性的共同點與不通電，把豎向對象劃分成多個種類實施求解的一種數學思想。高中數學函數章節教學中使用分類思想方法，有利于學生形成縝密、嚴謹的思維模式，養成良好的數學品質。解決數學函數問題時，如果無法從整體角度入手解決問題，可以從局部層面解決多個子問題，從而有效解決整體的問題。
分類討論就是對部分數學問題，但所給出的對象不能展開統一研究時，必須依據數學對象本質屬性的特點，把問題對象劃分為多個類別，隨之逐類展開談論和研究，從而有效解決問題。對高中數學函數進行教學過程中，經常根據函數性質、定理、公式的限制展開分類討論，問題內的變量或包含需要討論的參數時，必須實施分類討論。高中數學教學中，必須循序漸進的滲透分類思想，在潛移默化的情況下提升學生數學思維能力和解決問題的能力。
解析：本例題解法可以根據函數圖象，借助偶函數圖象關于y軸對稱進行解決，也可以根據兩個變量所處的區間，展現出分類討論的思想。對復雜的問題進行分類和整合時，分類標準與增設的已知條件相等，完成有效的增設，把大問題轉換成小問題，優化解題思路，降低解決問題的難度。
四、結語
總之，高中數學函數章節是整個數學教育的重要部分，對其日后學習高等函數發揮著重要作用。高中數學函數知識涵蓋多種數學思想方法，數學思想方法是解決數學問題的鑰匙和重要工具，因此，數學老師必須對函數實施合理的教學，讓學生更全面的掌握數學教學思想方法，從而提升學生的綜合思維能力。
參考文獻：
分類討論的思想方法范文第5篇
其中分類討論思想就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法。分類是以比較為基礎的，它能揭示數學對象之間的內在規律，對培養學生思維的條理性、縝密性，提高學生全面、周密地分析問題和解決問題的素質和能力起到十分關鍵的作用，故“分類討論”思想在初中數學中占有重要地位。但初中學生常常分類討論的意識不強，不知道哪些問題需要分類及如何合理的分類。這就需要教師在教學中結合教材，創設情景，予于強化，需要區分種種情況進行討論的問題，啟發誘導，揭示分類討論思想的本質，從而培養學生自覺應用分類討論的意識。
分類討論一般應遵循以下的原則：
1.對問題中的某些條件進行分類，要遵循同一標準。
2.分類要完整：不重復，不遺漏。
3.有時分類并不是一次完成，還須進行逐級分類，對于不同級的分類，其分類標準不一定統一。
而在初中數學的教學過程中我們常在以下情況中應用分類討論思想：
一、在概念教學中滲透分類討論意識和原則
分類討論是重要的數學思想方法，由于數學中的許多概念的定義是分類給出的或是不少概念都有一定的限制，如實數的分類：
例：比較a與-a的大小。
分析：易得a〉-a 的錯誤，導致錯誤在于沒有注意到數a可表示不同類型的數。應分a〉0，a= 0，a
又例：在學習絕對值的定義時，要有意識地啟發學生從有理數分類進行認知的遷移，幫助學生概括出a>0，a=0，a
二、在法則、定理、公式導出過程中體現分類討論思想
有些數學性質、公式或定理在不同條件下有不同的結論，或是結論在一定限制條件下才成立，這就要在教學的過程中逐步體現分類討論思想。
例：方程kx2-2x+5=0有幾個實數根？
學生往往不注意k對方程性質的影響，討論或講評中，使學生明確系數k決定方程的次數，從而分k=0，k≠0兩類討論。當k≠0時，再分>0，=0，
例：解關于x的不等式：ax+3>x+a
分析通過移項不等式化為（a-1）x>a-3的形式，然后根據不等式的性質可分為a-1>0，a-1=0，和a-1
當a-1>0，即a>1時，不等式的解是x>a-3>/a-1；
當a-1=0，即a=1時，不等式的左邊=0，此時不等式不成立；
當a-1
又例：二次函數y=kx+b的圖像過哪幾個象限？
這道題勢必要考慮圖像的變化趨勢，又要考慮圖像與y軸交點的位置。要對字母k和b進行分類討論。怎么分，則應由學生討論，互相補充，互相評價，逐步完善。
三、在幾何中，常常由于圖形的的形狀、位置的不同而要進行分類討論
例如：若等腰三角形一腰上的中線分周長為9cm和12cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長。
簡析：已知條件并沒有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，應有兩種情形。若設這個等腰三角形的腰長是xcm，底邊長為ycm，可得或解得或即當腰長是6cm時，底邊長是9cm；當腰長是8cm時，底邊長是5cm。
又例如：已知半徑為a的兩圓外切，半徑為2a且和這兩圓都相切的圓共有多少個？
