函數最值的應用

前言：想要寫出一篇令人眼前一亮的文章嗎？我們特意為您整理了5篇函數最值的應用范文，相信會為您的寫作帶來幫助，發現更多的寫作思路和靈感。

函數最值的應用范文第1篇

一般地，函數f（x）=x+■（k>0） 的圖像如下圖所示.

1. 當x>0時，在區間（0，■]上是減函數；在區間[■，+∞）上是增函數.在x=■時，有最小值2■.當且僅當x=■，即x=■時，f（x） ■=2■.

2. 當x

3. 當x>0時

① 若x∈（0，m]，當m■時，則f（x） ■=2■.

②若x∈[m，+∞），當m■時，則f（x） ■=■.

4. 當x

① 若x∈（-∞，m]，當m-■時，則f（x） ■=-2■.

② 若x∈[m，0），當m-■時，則f（x） ■=■.

例1：求y=x+■（x≠0）的最值

分析：當x>0時，y=x+■有最小值，當且僅當x=■時，即x=1時，y■=2；當x

解：當x>0時，且x=■時，即x=1時，y■=f（1）=2；當x

例2：求y=■的最值

分析：■=■=■+■，且■≥■>0，故當且僅當■=■，即x=±1時，有最小值2■.

解：方法1： ■=■=■+■，且■≥■>0，■=■，即x=±1時，y■=f（±1）=2■.

方法2：■=■=■+■，令■=t（t≥■），y=■+t（t≥■），當■=t，即t=■時，當t∈[■， ■]時，f（t）是單調減函數.當t∈[■，+∞]時，f（t）是單調增函數.故當■=t，即t=■時，y■=f（t） ■=f（■）=2■.

例3：擬造一底面積為64平方米，底面為矩形，高為2米的長方體水箱.由于受到空間的限制，底面的長、寬都不能超過10米若造價是每平方米20元（鐵皮的厚度不計）.求解下列問題：

① 試設計水箱的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價.

② 若水箱被隔成七個體積相等的長方體，求出最低造價.

解：①設水箱的底面長為x米，則寬為■米，又設總造價為y■元，則y■=20×2（64+2x+2×■）=2560+80（x+■）.

x>0，當且僅當x=■，即x=8時，y■=f（8）=3840.

又0

8∈[6.4，10]，而y=x+■在[6.4，8]上是單調減函數，在[8，10]上是單調增函數，y■=f（8）=3840，當水箱的長和寬都是8米時，造價最低，且最低造價是3840元.

②設水箱的底面長為x米，則寬為■米，又設總造價為y■元，則y■=20×（2×64+2×2x×+2×8×■）=2560+（x+■）.當x=■時，即x=16時，y■取最小值.

但6.4≤x≤10，16？埸[6.4，10]，y=x+■在[6.4，10]上是單調減函數，在[6.4，16）上亦為單調減函數.

y■=f（10）=2560+80（10+■）=5408，當y■=5408時，x=10，■=6.4.故水箱的長為10米，寬為6.4米時造價最低，且最低造價為5408元.

參考文獻：

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函數最值的應用范文第2篇

【關鍵詞】 鼾癥；卡絡磺鈉；手術；止血；拔管

DOI：10.14163/ki.11-5547/r.2017.03.012

Hemostatic effect of carbazochrome sodium sulfonate injection in sleep apnea syndrome operation and its influence on anesthesia recovery period ZHANG Ai-rong， FAN Hong-mei. Department of Anesthesia， Hebei Cangzhou City People’s Hospital， Cangzhou 061000， China

【Abstract】 Objective To observe the hemostatic effect of carbazochrome sodium sulfonate injection in sleep apnea syndrome operation and its influence on anesthesia recovery period. Methods A total of 60 patients with sleep apnea syndrome operation were randomly divided into research group and control group， with 30 cases in each group. Both groups received operation in treating sleep apnea syndrome according to their symptoms. The research group received 100 ml （80 mg） carbazochrome sodium sulfonate injection by vein 30 min before operation， and another 100 ml （80 mg） carbazochrome sodium sulfonate injection by vein 2 h after operation， and the control group received 100 ml normal saline by vein. Observation and comparison were made on intraoperative bleeding volume， postoperative blood oozing volume， operation time， pulling out tracheal intubation time， oral blood oozing volume， time of leaving the recovery room and secondary surgery situation in two groups. Results The research group had better intraoperative bleeding volume， postoperative blood oozing volume， pulling out tracheal intubation time， oral blood oozing volume， and time of leaving the recovery room than those in the control group， and their difference had statistical significance （P0.05）. The research group had lower secondary surgery rate as 3.33% than 20.00% in the control group， and the difference had statistical significance （P

【Key words】 Sleep apnea syndrome； Carbazochrome sodium； Operation； Hemostatic； Tube drawing

鼾Y顧名思義即是打鼾， 多數的鼾癥患者除鼾聲過響外， 還存在不同程度的憋氣現象， 即所謂阻塞性睡眠呼吸暫停綜合征， 出現一系列缺氧癥狀， 易并發繼發性高血壓和心律失常， 有潛在致死的可能， 對健康危害甚大[1]。鼾癥的發病機制以咽阻塞為主， 所謂咽阻塞系指口咽部生理性異常引起的咽峽部左右徑狹小， 咽帆間隙前后徑縮短或舌根肥厚上抬使咽峽上下徑變小。生理性異常指組織結構正常而表現出功能障礙而言， 如軟腭偏長、懸雍垂過度下垂、咽后柱寬闊、咽壁黏膜下脂肪沉積、軟腭松弛和咽淋巴環肥大等。目前對于鼾癥已經影響了生活質量的患者一般采取腭咽成形術（palato-pharyngoplasty）[2]。而此種手術造成的創面容易出血和滲血， 手術時間一般在2.0～2.5 h左右， 一般止血的環節較困難， 本科采用卡絡磺鈉氯化鈉注射液手術前預防性應用， 療效佳， 作用安全， 同時減少了術中及術后出血， 現總結如下。

1 資料與方法

1. 1 一般資料 選擇本院2014年6月～2016年6月在耳鼻喉住院的鼾癥患者60例， 術前凝血功能正常， 年齡20～50歲， 排除嚴重心腦血管疾病、嚴重肝腎功能疾病及出凝血異常者。將60例患者隨機分為對照組和研究組， 每組30例。對照組中男22例， 女8例， 平均年齡（33.1±7.8）歲；研究組中男23例， 女7例， 平均年齡（32.8±8.2）歲。兩組患者性別、年齡等一般資料比較差異無統計學意義（P>0.05）， 具有可比性。

1. 2 方法 兩組患者依據病情需要均要接受手術治療。研究組在常規全身麻醉氣管插管后， 手術前30 min靜脈滴注卡絡磺鈉氯化鈉注射液100 ml（80 mg）， 手術結束后2 h再給予一次靜脈卡絡磺鈉氯化鈉注射液100 ml（80 mg）；對照組靜脈給予生理鹽水100 ml。兩組患者手術中常規監測心電圖、脈搏氧、無創血壓及有創血壓。

1. 3 觀察指標 記錄兩組患者術中出血量、術后滲血量、手術時間、拔出氣管插管時間、口腔滲血量、離開恢復室時間及二次手術情況， 并進行組間比較。

1. 4 統計學方法 采用SPSS18.0統計學軟件處理數據。計量資料以均數±標準差（ x-±s）表示， 采用t檢驗；計數資料以率（%）表示， 采用χ2檢驗。P

2 結果

2. 1 兩組患者術中出血量、術后滲血量和手術時間對比 研究組術中出血量、術后滲血量均少于對照組， 差異均有統計學意義（P0.05）。見表1。

2. 2 兩組患者拔出氣管插管時間、口腔滲血量和離開恢復室時間對比 研究組拔出氣管插管時間、口腔滲血量、離開恢復室時間均優于對照組， 差異均具有統計學意義（P

2. 3 兩組患者二次手術率對比 研究組二次手術率為3.33%， 明顯低于對照組的20.00%， 差異具有統計學意義（P

3 討論

鼾癥是臨床較常見的疾病類型， 發病機制以咽阻塞為主， 所謂咽阻塞系指口咽部生理性異常引起的咽峽部左右徑狹小， 咽帆間隙前后徑縮短或舌根肥厚上抬使咽峽上下徑變小。生理性異常指組織結構正常而表現出功能障礙而言， 如軟腭偏長、懸雍垂過度下垂、咽后柱寬闊、咽壁黏膜下脂肪沉積、軟腭松弛和咽淋巴環肥大等。多數的鼾癥患者除鼾聲過響外， 還存在不同程度的憋氣現象， 即所謂阻塞性睡眠呼吸暫停綜合征， 出現一系列缺氧癥狀， 易并發繼發性高血壓和心律失常， 有潛在致死的可能， 對健康危害甚大。不論是腭咽成形術或是懸雍垂腭咽成形術（uvulo-palatopharyngoplasty）， 其治療原則均為切除口咽部不重要的過剩組織， 擴大咽帆（又名腭帆）間隙呼吸通道。

雖然這些手術方法的效果較好， 但術中的止血一直是在實施鼾癥手術中的巨大問題， 若沒有對患者起到及時有效的止血效果， 則會對治療效果造成重大影響， 甚至極有可能導致患者的身體受到更大的危害。因此對鼾癥患者實施手術治療時， 通過相關方法減少其術中出血非常重要。以往的止血方法是在手術中注意自身行為， 例如在手術前需察看咽腔寬暢程度， 有無滲血， 發音時軟腭能否貼近咽后壁。若咽后壁仍見縱形條索狀組織增厚者， 在咽后壁外側可作半圓形附加切口切除黏膜， 將內側弧形切緣向外側移拉使與切緣外側黏膜縫合， 減少條索樣隆起。但這些方法并沒有藥物治療好， 而卡絡磺鈉就是這樣的藥物。在實際的起效過程中， 卡絡磺鈉能夠提升患者毛細血管對于自身損傷抵抗力， 并最終能夠對毛細血管的通透性進行提升， 讓毛細血管的斷端重新回到毛細血管的斷端， 并起到止血效果[3-7]。這一效果相比傳統的止血方法明顯更佳。在常規的止血過程中， 小血管在受傷后會立即收縮， 若是破損不大， 甚至能夠直接讓血管封閉， 這種止血效果比較好， 但持續效果非常短。因此凝血開始成為了止血過程中的重要手段， 通過凝血的方式能夠起到更好的止血效果。但正常的凝血過程在時間上較長， 并且其效果不佳， 因此使用促凝血藥物非常重要。促凝血藥物指的是能夠加快血液凝固， 或是降低毛細血管通透性的藥物， 在當前得到了較好的使用。傳統凝血藥物為凝血酶、維生素K以及酚磺乙胺等藥物， 但這類藥物的副反應非常大， 一些患者也無法耐受[8-11]。而卡絡磺鈉則能夠避免這些缺陷。卡絡磺鈉能夠增強毛細血管的通透性、彈性， 并能夠促進毛細血管斷端的回縮， 明顯縮短出血時間， 因此能夠起到較好效果[12-15]。尤其是對于鼾癥手術而言， 使用卡絡磺鈉則能夠起到更好的止血效果。加上該種手術麻醉復蘇期的危險性比如：全身麻醉拔管期誤吸、再次出血、窒息、再次手術等危險情況， 使用該藥后減輕相關并發癥。但需要注意的是， 在實際的對患者服用卡絡磺鈉的治療時會有并發癥等出現。針對這一情況， 可對患者的身體狀況進行分析， 并通過分析的結果為患者制定出不同的服藥計劃， 改善這一情況的出現。

本次研究結果顯示， 研究組術中出血量、術后滲血量、拔出氣管插管時間、口腔滲血量、離開恢復室時間均優于對照組， 差異均具有統計學意義（P0.05）。研究組二次手術率明顯低于對照組， 差異具有統計學意義（P

總之， 卡絡磺鈉氯化鈉注射液在鼾癥手術中具有較好的止血效果， 可縮短拔管時間， 減少二次手術的幾率。

參考文獻

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函數最值的應用范文第3篇

關鍵詞:三角函數 最值 類型解決方法

最值問題是高中數學的重點和歷年高考的熱點,它涉及中學數學的各個分支,在一些特定的領域中應用還十分廣泛,分清問題

的類型對于最值問題的解決十分有益。本文就三角函數中的最值問題略作介紹。

三角函數是一種函數,因此初等函數中的最值問題的求法對三角函數也適用,但三角函數既然是一種特殊的函數,其最值問題的求法當然也有其獨特的地方。

一、配方法

例1.(1997年全國)函數y=cos2x-3cosx+2的最小值為()

A.2 B.0C.-■D.6

略解:由y=cos2x-3cosx+2=(cosx-■)2-■,cosx∈[-1,1]

利用三角函數的有界性及二次函數在閉區間上求值域可得:0≤y≤6。

答案:B

點評:配方法作為初等函數中極為重要的方法在三角函數中應用仍然十分廣泛,但本例運用配方法意在確定對稱軸的位置。若將本例變為:函數y=sin2x-cosx+2的最小值為,則需異名化同名(余弦),再由配方法得出答案為1。

二、“合一變形”及有界性法

例2.(2000年春季北京、安徽文)y=sinx+cosx+2的最小值是()

A.2-■ B.2+■

C.0 D.1

略解:根據兩角和與差的三角公式作逆運算得,y=■sin(x+■)+2,再利用三角函數的有界性知:y∈[2-■,2+■]。

答案:A

點評:“合一變形”法就是逆用“兩角和與差的正余弦公式”對同角異名弦之和與弦之差作“二合一變形”。

變題:函數y=■的值域為

略解:由y=■得,sinθ=■

而sinθ∈[-1,1],故函數的值域為:

[-2,0]

三、“和積不等式”與“勾子函數”法

例3.函數y=sinα+■,α∈(0,π)的最小值為()

A.2■ B.-2■

C.6 D.-6

略解:由α∈(0,π),則sinα∈(0,1)

由“勾子函數y=x+■>0”性質可求y≥6。

答案:C

變題:函數y=5sinα+■,α∈(0,π)的最小值為()

A.2■ B.-2■

C.6 D.-6

略解:由α∈(0,π),則sinα∈(0,1)

由和積不等式知:5sinα+■≥2■,當且僅當sinα=■時取等號

答案:A

點評:“勾子函數”法的本質是函數的單調性,對于勾子函數y=x+■,a>0,當x∈(0,■]時函數單調減,當x∈(■,+∞]函數單調增。而“和積不等式”強調“一正、二定、三等”限制條件。

四、數形結合與換元法

例4.函數y=■的值域為

答案:(-∞,0]

例5.函數y=sinx+cosx+2sinxcosx的值域為

答案:[-■,1+■]

點評:例4可看作是圓:x2+y2=1上點(cosθ,sinθ)與點(-2,1)連線的斜率的取值范圍。

例5則可將sinx+cosx整體換元為t∈[-■,■],并將sinxcosx化為t的代數式,進而將原問題化為二次函數在閉區間上求值域。

五、三角函數最值問題的簡單應用

例6.(2000年全國,理)已知函數y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R

當函數y取得最大值時,求自變量x的集合;

解:y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R

=■cos2x+■sin2x+■

=■sin(2x+■)+■

y取得最大值必須且只需2x+■=■+2kπ,k∈Z,

即x=■+kπ,k∈Z

所以當函數y取得最大值時,自變量x的集合為{x|x=■+kπ,k∈Z｝

點評:本題的突破口是利用三角函數的降冪公式進行恒等變形,重點考查了三角函數最值所取得的條件。

例7.設向量■=(3cosx,3sinx),■=(3cosx,sinx),■=(2,0),向量■與向量■的夾角為θ,當變量x∈(0,■)時,(1)求證:(■-■)■

(2)求角θ的最大值及相應的x值。

解:(1)■-■=(0,2sinx),而■=(2,0)

( ■ -■ )? ■=0×2+2sinx×0=0

(■-■)■

(2)cosθ=■=■

=■

又x∈(0,■)

令:■=t,則t∈(1,3)

cosθ=■≥■(當t=■,即cosx=■時取等號)

又θ∈(0,π),cosθ在(0,π)內為減函數

θ≤■

θ的最大值為■,此時相應的x值為■

點評:本例運用了換元法、基本不等式等初等函數最值問題的求法,而其核心是以向量為載體考查三角函數的最值問題。

三角函數最值問題的各種解法之間可以互相滲透,而三角函數的有界性則貫串于三角函數問題的始終。

函數最值的應用范文第4篇

一、主要知識及主要方法

1.與圓錐曲線有關的最值問題，大都是綜合性問題，解法靈活，技巧性強，涉及代數、三角、幾何等多方面的知識，現把這類問題的求解策略與方法介紹如下

（1）平面幾何法

平面幾何法求最值問題，主要是運用圓錐曲線的定義和平面幾何知識求解.

（2）目標函數法

建立目標函數解與圓錐曲線有關的最值問題，是常規方法，其關鍵是選取適當的變量建立目標函數，然后運用求函數最值的方法確定最值.

（3）判別式法

（4）圓錐曲線定義的應用

①運用圓錐曲線的定義解題常用于：a.求軌跡問題；b.求曲線上某些特殊的點的坐標；c.求過焦點的弦長、焦半徑.

②要注意不斷總結和積累應用圓錐曲線的定義解題的經驗，以便提高靈活應用定義解題的能力.

a.在利用圓錐曲線定義求軌跡時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據圓錐曲線的定義，寫出所求的軌跡方程；若所求軌跡是某種圓錐曲線上的特定的軌跡，則利用圓錐曲線的定義列出等式，化簡.

b.涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個焦點構成的三角形問題，常用第一定義結合正弦定理或余弦定理來解決問題；涉及焦點、準線、離心率、圓錐曲線上的點中的三者，常用第二定義解決問題.

c.研究有關點之間的距離的最值問題時，常用第一定義把曲線上的點到焦點的距離轉化為另一焦點的距離或利用第二定義把曲線上的點到焦點的距離轉化為到其相應準線的距離，再從幾何圖形利用幾何意義去解決有關的最值問題.

2.與圓錐曲線有關的范圍問題的討論常用以下方法解決

（1）結合定義利用圖形中幾何量之間的大小關系.

（2）不等式（組）求解法：利用題意結合圖形（如點在曲線內等）列出所討論的參數適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數的變化范圍.

（3）函數值域求解法：把所討論的參數作為一個函數、一個適當的參數作為自變量來表示這個函數，通過討論函數的值域來求參數的變化范圍.

（4）利用代數基本不等式.代數基本不等式的應用，往往需要創造條件，并進行巧妙的構思.

（5）結合參數方程，利用三角函數的有界性.直線、圓或橢圓的參數方程，它們的一個共同特點是均含有三角式.因此，它們的應用價值在于：

① 通過參數θ簡明地表示曲線上點的坐標；

② 利用三角函數的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；

二、典例分析

點睛（1）與圓有關的最值問題往往與圓心有關；（2）函數法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數最常見的有二次函數等，值得注意的是函數自變量取值范圍的考察不能被忽視.

函數最值的應用范文第5篇

求解二元函數最值，核心思想是化二元為一元――將復雜問題化歸為簡單模型是數學解題的關鍵，也是本質。通過消元或換元，將一個二元問題簡化為一元函數問題，依托于研究學生所熟識的一元函數達到求解二元函數最值的目的。下文所敘述的消元法和換元法都是這一思想的具體運用。

同時，求解二元函數最值問題時，聯系題目中條件與最值問題所對應的幾何意義――利用數形結合的思想，將二元函數問題化歸為二維平面內的圖形變換關系，通過觀察圖形的幾何意義來解決問題，是此類問題其求解的又一法寶。

此外，結合已知條件，利用重要不等式來解決問題是我們可以借助的又一重要工具。均值不等式法就體現了這一思想。

下面通過幾個具體的例子，著重通過一題多解的模式來分析二元最值求解的基本方法。

1. 配方法

利用多項式的配方法和實數的性質以及不等式的性質來分析新式子的結構， 進而研究確定二元函數的最大值或最小值， 這也是求極值的一種很簡便的方法。

例1：求二元函數Z=x4+y4+2 x2y2-4x2-3y2+2y+15的最小值。

分析：原式配方得：Z=（x2+y2-2） 2+（y+1）2+10，當且僅當 x2+y2-2=0且y+1=0 ，即x= ±1，y=-1 時，Z的最小值是10

例2：已知X∈R ，y ∈R，求 u=x2+xy+y2-x-2y+5的最值。

分析：原式配方可得 u=（x+y-12）2+34（y-1）2+4，當且僅當 x+y-12=0及y-1=0時即x=0，y=1時取最小值4

2. 消元法

消元法是求解二元函數最值問題的最基本方法。同時，在求解此類問題時，設法消元也是核心的思路。而此類二元函數一般都有一個關于兩個自變量之間的等量關系

例3、已知 x，y∈R+且 xy=2，求 y（x2+1）的最小值。

分析：已知條件給出了兩變量的關系，故而可以用x表示y ，將二元問題劃歸為一元問題。

解：由xy=2 得 y2x，所以 Z= y（x2+1）= y2x（x2+1）=2x+2x，

又x ∈R+，所以2x +2x≥4 。當且僅當 x=1時取等號。（亦可利用“對勾”函數理解）

例4、從圓（x+1） 2+（y-2）2=2外一點P向圓引切線PM，M為切點， O為坐標原點，且有PM=PO，求 PM的最小值。

分析：設點P（a，b） 后，利用PM=PO找到 a，b的關系，求PM 的最小值問題轉化為求PO 的最小值。

解：設點P的坐標為 （a，b） ，如圖

由已知 PO′2- O′M2=PM 2=PO 2，得 2a-4b+3=0 ，所以b=2a+34 ， PM=PO=a2+b2=20a2+12a+916≥3510，

即PM 的最小值為3510 。

由以上兩例可以看出，利用已知關系，將未知的二元問題化歸為已知的一元模型――由未知到已知的轉化模式是學習數學的一個重要思想。

3. 換元法

通常就是將兩個變量看成一個整體，或者是應用三角代換的方法將其轉化為一次函數，然后應用一次函數的最值求解方法求解。

例5、實數x，y滿足x2-2xy+ y2-3x-3y+12=0，求u=xy的最小值。

分析：求u=xy的最值，從條件很容易把xy表示為x+y的關系，視x+y=t可轉化為t的函數而求解。

解：由得條件 （x-y）2+12=3（x+y）≥12，可設t= x+y≥43（當且僅當x=y時取等號）又由條件可得 u=xy=14[（x+y）-3（x+y）+12]=14[t2-3t+12]=14[（t-3）2）2+454]≥12

從而可求得 umax=12

例6、若動點P（x，y） 在曲線 x24+y2b2=1（b>0）上變化，求 x2+2y的最大值。

解：因為 P（x，y） 在x24+y2b2=1（b>0）上，所以 x=2cosθy=bsinθ， 故而z=x2+2y=4 cos2θ+2bsinθ=-4（sinθ-b4）2+b24+4，

當0< b4

當 b4≥1，即b ≥4時， z=x2+2y≤-4（1-b4） 2+b24+4=2b。

換元法的本質仍是將二元變量問題劃歸為一元問題，從而使的問題的以簡化。

4. 數形結合法

數形結合法是解決二元最值的一大類方法，其基本思想是將數的問題劃歸為形的特征，利用幾何意義來解決問題，常見的模式有構造距離、斜率及線性規劃的應用等。

對例4來說，得到a，b的關系2a-4b+3=0 后，將問題PO=a2+b2看作（a，b） 點到原點的距離，則PO的最小值為原點到直線2a-4b+3=0 的距離，根據點到直線的距離公式可得 d=3510。

例7：求函數f（x，θ）=xsinθx2+xcosθ+2的最值（2012年重慶理科數學二診）

分析：首先令x≠0然后將函數的分子分母同時除以x 將函數轉化為 f（x，θ）=sinθcosθ+x+1x，再令x+1x=-t∈（-∞，-2） Y（2，+∞）即有 f（x，θ）=sinθ-0cosθ-t將函數看成兩點A（cosθ， sinθ）與B（ t，0）連線的斜率，再進行數型結合即可求出最為f（x，θ） max=77， f（x，θ） min-77

5. 均值不等式法

當問題所給條件是變量x與y的積或和時，若函數可看作這兩個變量的和或積，當滿足條件時，可利用均值不等式來求解。

例8、函數 y=loga（x+3）-1（a>0，a≠1）的圖像恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0 上，其中mn>0 ，求1m+ 2n的最小值。

解：因為函數y=loga（x+3）-1（a>0，a≠1）的圖像恒過（-2，-1）點。

又 點A在直線mx+ny+1=0 上，所以有2m+n=1 ， 則z=1m+ 2n=（1m+ 2n）（2m+n）= nm+4mn+4，又 mn>0 ，故 nm>0， 4mn>0

從而nm+4mn ≥2nm4mn ，當且僅當 n=2m時去等號。即 1m+ 2n的最小值為4。

例9：已知a>b>0 ，求 a2+16（a-b）b的最小值。

分析：因為 a2=[（a-b）+b]2≥[（a-b）b]2=4（a-b）b當且僅當a-b=b 時等號成立，然后再將（a-b）b看成一個整體再次用均值不等式即能求出最小值16，當且僅當 a=22， b=2時取的最小值。

以上五種方法，是高中階段求解二元函數最值的常用方法，在解決問題的過程中，充分體現了高中數學的基本思想與基本技能，是學生函數部分學習的重要內容。同時，在數列、圓錐曲線部分內容的求值等問題中也常常會涉及到，也體現了高中數學與高等數學的聯系，更是新課程改革的一個方向。熟練掌握二元函數最值問題的求法，是對學生的必然要求。

參考文獻

[1] 張宇. 求多元函數條件最值的常用技巧[J]. 中等數學，1999 （6）

[2] 林濤. 中學數學數形結合解題方法技巧[M]. 南寧： 廣西民族出版社， 1992. 9