函數值域

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函數值域范文第1篇

通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域.

例1求函數y=3+2-3x的值域.

點撥根據算術平方根的性質，先求出2-3x的值域.

解由算術平方根的性質，知2-3x≥0，

故y=3+2-3x≥3.

所以函數的知域為［3,+∞).

點評算術平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數的非負性，（2）值的非負性.

本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法.

二、配方法

當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域

例2求函數y=x2+x+2的值域.

點撥將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求.

解由y=-x2+x+2,可知函數的定義域為x∈［－1，2］.

此時-x2+x+2=-(x-12)2+94∈［0,94］.

所以0≤-x2+x+2≤32,函數的值域是［0,32］.

點評求函數的值域不但要重視對應關系的應用,更要注意定義域對值域的制約作用.配方法是數學的一種重要的思想方法.

三、判別式法

若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域.

例3求函數y=2x2-2x+3x2+x+1的值域.

點撥將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域.

解將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0.（）

當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0，

解得2

當y=2時,方程（)無解.所以函數的值域為(2,103］.

點評把函數關系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數解，故其判別式為非負實數，可求得函數的值域.常適應于形如：y=ax2+bx+cdx2+ex+f及y=ax+b±cx2+dx+e的函數.

四、中間變量法

若函數只含x2項或只含sinx,cosx項，可借助x2≥0,0≤|sinx|≤1（有界性）解決.

例4求函數y=x2+4x2-1的值域.

解由y=x2+4x2-1得x2=y+4y-1.又由x2≥0得y+4y-1≥0，解得y≤-4或y>1.所以函數值域為(-∞,-4］∪(1,+∞).

五、圖象法

通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域.

例5求函數y=|x+1|+(x-2)2的值域.

點撥根據絕對值的意義，去掉符號后轉化為分段函數，作出其圖象.

解原函數化為y=-2x+1

3

2x-1(x≤1),

(-1

(x>2).

作出它的圖象（略）.

顯然函數值y≥3,所以，函數值域為［3，+∞）.

點評分段函數應注意函數的端點.利用函數的圖象求函數的值域，體現數形結合的思想.是解決問題的重要方法.

求函數值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域.

六、單調性法

利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域.

例6求函數y=4x-1-3x(x≤13)的值域.

點撥由已知的函數是復合函數，即g(x)=-1-3x，y=f(x)+g(x),其定義域為x≤13，在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域.

解設f(x)=4x,g(x)=-1-3x(x≤13),易知它們在定義域內為增函數，從而y=f(x)+g(x)=4x-1-3x

在定義域{x|x≤13}上也為增函數，而且y≤f(13)+g(13)=43,因此，所求的函數值域為｛y|y≤43｝.

點評利用單調性求函數的值域，是在函數給定的區間上，或求出函數隱含的區間，結合函數的增減性，求出其函數在區間端點的函數值，進而可確定函數的值域.

七、換元法

以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域.

例7求函數y=x-3+2x+1的值域.

點撥通過換元將原函數轉化為某個變量的二次函數，利用二次函數的最值，確定原函數的值域.

解設t=2x+1(t≥0),則x=12(t2-1).于是

y=12(t2-1)-3+t=12(t+1)2-4

≥12-4=-72.

所以原函數的值域為［-72,+∞).

函數值域范文第2篇

關鍵詞：三角函數;值域;求法

一、可化為y=asin(ωx+φ)+b(ω>0)型

例1 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的值域.

解： y=1-cos2x2+sin2x+3·1+cos2x2

=sin2x+cos2x+2

=2sin(2x+π4)+2

y∈［2-2,2+2］

二、可化為二次函數

例2 求y=3+cosx-2sin2x的值域

解： y=3+cosx-2sin2x=2cos2x+cosx+1

因為cosx∈［-1,1］,所以y∈［78，4］.

三、反解法

例3 求y=3cosx+42cosx-1的值域

解: 因為2ycosx-2y=3cosx+4

所以（2y-3)cosx=2y+4.

所以cosx=2y+42y-3.

|cosx|=|2y+42y-3|≤1

解得： y∈(-∞,-13］∪［7,+∞)

四、當式子中同時含有sinx±cosx,時，常使用換元法

例4 當x∈［0,π］,求y=sin2x+sinx-cosx的值域.

簡解:sinx-cosx=t=2sin(x-π4)∈［-1,2］

所以2sinxcosx=1-t2

所以y=-t2+t+1∈［-1,54］

五、配對法

例5 已知：sinx+siny=1，求cosx+cosy的范圍.

cosx+cosy=t (1)

sinx+siny=1(2) 兩式平方相加得：

2cos(x-y)=t2-1∈［-2,2］

所以t∈［-3,3］.

六、三角函數也是函數，所以其他一些函數值域的求法對于求三角函數的值域照樣適用

如分離常數法：

例6 若cos2x+2msinx-2m-2

簡解：整理得：2m>sin2x+1sinx-1，

sinx-1=t∈［-1,0)

所以2m>t+2t+2，因為(t+2t+2)max=-1.

所以m>-12.

巧用“對比法”解題

江蘇靖江季南初中(214523)  陳一平

對比法：把兩個或兩個以上的事物進行比較，找其共同點與不同點的進行解題的方法.對比法是最基本的思維，也是解題方法.它有時會使思維、解題一清二楚，直接明了.

例1 橫河九年級物理興趣小組的同學在研究“沙子和水誰的吸熱本領大”時，選用了兩只完全相同的酒精燈分別給質量都是200 g的沙子和水加熱.他們繪制出沙子與水的溫度隨加熱時間變化的圖象如圖1所示. 已知酒精的熱值是3.0×107 J/kg，水的比熱容4.2×103 J/(kg·℃)，加熱時酒精燈平均每分鐘消耗0.8 g酒精.那么請問：

(1)圖中a圖和b圖哪個是沙子吸熱升溫的圖象?為什么?

(2)請根據圖象說出水在受熱過程中溫度變化的特點.

(3)加熱滿2 min時,水吸收了多少熱量?

(4)給水加熱持續了10 min時間,共消耗了多少酒精?這些酒精如果完全燃燒將放出多少熱量?

(5)試求出沙子的比熱容.

圖1解：(1) 圖a表示的是沙子吸熱升溫的過程，因為沙子的比熱比水小，吸收相同熱量時沙子溫度升得多.

(2) 水在受熱過程中溫度變化呈先快后慢，至沸騰時溫度保持不變的特點

(3) Q吸=c·m·Δt=4.2×103 J/(kg·℃)×0.2 kg×(70 ℃－20 ℃)=4.2×104 J

(4) m=0.8 g×10=8 g

Q放=mq=8×10-3 kg×3.0×107 J/kg

=2.4×105 J

分析：其中（1）（2）（3）（4）解題如上，不再多贅.

（5）的解題部分同學解題如下：

取t=2 min，Q沙吸=Q放=mq=1.6×10-3 kg×3.0×107 J/kg=4.8×104 J

C沙=Q沙mΔt=4.8×104 J/0.2 kg×(250 ℃-20 ℃)=1043.5 J/(kg·℃)

理由是：根據圖象、題意，取t=2 min，Q放=mq，酒精燃燒放出的熱量可以求出，放出的熱量是供沙子升溫的，且題目沒有給出沙子吸收的熱量是酒精燃燒放出的熱量的百分比，那沙子吸收的熱量就等于酒精燃燒放出的熱量.所以解題如此.如果我們采用“對比法”，就會正確找到沙子在t=2 min內吸收的熱量了.

共同點：①沙子與水的質量都是200 g；②兩只完全相同的酒精燈同時加熱.

不同點：①加熱對象分別是沙子、水； ②圖象中可以看出在相同時間內沙子與水升溫不同

再根據蘇科版物理九年級上P41的信息快遞：如果加熱方法完全相同，就可以認為單位時間內物質吸收的熱量相同.取t=2 min，就很快找到沙子吸收的熱量等于水吸收的熱量4.2×104 J了，這個熱量小于1.6 g酒精燃燒放出的熱量4.8×104 J.題目的難點就會突破，解題也就豁然開朗、水落石出了.

函數值域范文第3篇

關鍵詞： 函數 定義域 值域 值域的求解方法

設 是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系 ，使對于集合 中的任意一個數 ，在集合 中都有唯一確定的數 和它對應，那么就稱 為從集合 到集合 的一個函數，記作 ，其中 叫做自變量。 的取值范圍 叫做函數的定義域；與 的值相對應的 的值叫做函數值，函數值的集合 叫做函數的值域

由函數的定義可知，一個函數的構成要素為：定義域、對應關系和值域。其中函數的值域是一個較復雜的問題，又是高中數學中的一個難點。總體來講，求函數的至于要注意以下幾點：（1）值域的概念，即與 的值相對應的函數值的集合 ；（2）函數的定義域。當題目中未明確給出函數的定義域時，應先求出函數的定義域，在定義域的范圍內求函數的值域；（3）函數的單調性。求函數的值域時，常常借助函數的最值來求解，而求函數的最值時，對函數的單調性的討論往往是必不可少的；（4）函數的解析式。在求函數的值域時，往往要根據所給函數的解析式的形式，使用相應的方法。具體常用的求函數值域的方法如下：

（1）觀察法

對于一些簡單的常見的函數，通過觀察就可以求出其值域。例如我們熟悉的一次函數的定義域是 ，值域也是 ；反比例函數 的定義域為 ，值域為 。

（2）配方法（或公式法）

（3）換元法

（4）分離常數法

（5）利用函數的單調性求值域

例5. 求函數 的值域

解：由題可知函數的定義域為 ，因為 和 在 上均為增函數，故原函數為 上的增函數.所以 ，故原函數的值域為

（6）利用函數的最值求值域

對于區間上的連續函數，利用求函數最大值和最小值來求函數的值域。

總之，同學們在學習的過程中應多注意積累，善于總結，從而在求解函數值域的問題中，才能迅速找到求解此類問題的比較簡單且合適的方法。

函數值域范文第4篇

我們知道，單調性是函數的重要性質，只要了解了一個函數的單調性，就可求出其值域. 同樣，了解了一個函數的單調性，即可作出函數的大致圖象，由圖象法求其值域. 因此，這兩種方法均可作為求函數值域的通法. 只是對于單調函數來說，作圖已經沒有必要，直接由單調性法求值域更為輕松；而對于非單調函數來說，雖然也可由單調性法解決，但圖象法往往更為簡單. 因此，筆者認為，可將判斷函數的單調性作為思維的起點，將作出函數的圖象作為思維的終點，而將換元法和導數法作為溝通起點或終點之間的“使者”，以此來構建函數值域問題的思維路線. 具體步驟為：首先判斷函數y=f（x）（x∈D）在D（可以是函數的定義域，也可以是定義域的某個子區間）上是否單調，若是，則用函數單調性法求解；若不是，對于基本初等函數或通過換元可轉化為基本初等函數的復合函數，用圖象法解決，而對于無法通過換元轉化為基本初等函數的復合函數，則先用導數判斷單調性，然后再由圖象法求解. 下面筆者先介紹有關方法，然后舉例佐證.

1. 函數單調性法求值域的依據

（1）若函數y=f（x）在區間D=[a，b]（a

（2）若函數y=f（x）在區間D=[a，b]=[a，c]∪[c，b]（a

函數值域范文第5篇

函數關系式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤的。如：

例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式？

解：設矩形的長為x米，則寬為(50－x)米，由題意得： 故函數關系式為：．

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量的范圍：即函數關系式為： （）

這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現出學生的思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性。

函數最值與定義域

函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大(小)值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：

例2：求函數在[－2，2]上的最值．

解：

當時，

初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。

其實以上結論只是對二次函數在R上適用，而在指定的定義域區間上，它的最值應分如下情況：

⑴ 當時，在上單調遞增函數；

⑵ 當時，在上單調遞減函數；

⑶ 當時，在上最值情況是：

，．即最大值是中最大的一個值。

故本題還要繼續做下去：

函數在[－2，2]上的最小值是－ 4，最大值是3．

這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性。

函數值域與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，值域也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：

例3：求函數的值域．

錯解：令故所求的函數值域是．

剖析：經換元后，應有，而函數在[0,+∞)上是增函數，

所以當t=0時，ymin=1．

故所求的函數值域是[1, +∞）．

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性。

函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域上進行。如：

例4：指出函數的單調區間．

解：先求定義域： 函數定義域為．令，知在上時，u為減函數，在上時，u為增函數。又函數在上是減函數，在上是增函數。即函數的單調遞增區間，單調遞減區間是。