資金有限獨立方案

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[摘要]方案選擇時，構(gòu)成方案現(xiàn)金流量的數(shù)據(jù)或計算參數(shù)可能不確定。這種不確定可能表現(xiàn)為隨機性，即各期現(xiàn)金流量和計算參數(shù)為隨機變量。本文研究了隨機條件下，在假設(shè)決策準(zhǔn)則的情況下如何排序選擇資金有限獨立方案。文中介紹了隨機條件下的決策準(zhǔn)則,并給出了在方案經(jīng)濟評價中這些準(zhǔn)則的常用求解措施；給出了隨機條件下資金有限獨立方案決策的一般模型和該模型的求解方法，最后文中給出數(shù)值案例利用組合互斥法展示了隨機條件下資金有限獨立方案的經(jīng)濟評價。

[關(guān)鍵詞]凈現(xiàn)值隨機變量經(jīng)濟評價

一、引言

在若干獨立方案比較和優(yōu)選過程中，最常見的約束是資金的約束。在確定條件下,對于獨立方案的比選,如果沒有資金的限制，只要方案本身的NPV≥0,方案就可行,但在有明確資金限制時，受資金擁有量的約束,有可能不能采用所有經(jīng)濟上合理的方案，只能從中選擇一部分方案實施,這就出現(xiàn)了資金合理分配問題。

有資金約束條件下的獨立方案選擇，其根本原則在于使用有限的資金獲得最大的經(jīng)濟效益。確定條件下，資金有限獨立方案的選擇問題實質(zhì)上是一個0-1整數(shù)規(guī)劃問題。其基本模型為：

式中表示第i個方案的凈現(xiàn)值；表示第i方案的總投資，I表示總的資金限額；為決策變量，=0表示不選第方案，=1表示選擇i方案。

該0-1整數(shù)規(guī)劃的求解在經(jīng)濟評價中常用的方法主要有：獨立方案組合互斥化法（相當(dāng)于規(guī)劃中的枚舉法）、凈現(xiàn)值率排序法和0-1整數(shù)規(guī)劃法。當(dāng)方案數(shù)(n)較小時最常用的方法為組合互斥法。該法的基本思想是：在有資金約束條件下獨立方案的比選，由于每個獨立方案都有兩種可能：選擇或拒絕，故n個獨立方案可以構(gòu)成2n個組合方案，每個方案組合可以看成是一個滿足約束條件的互斥方案，這樣互斥方案的經(jīng)濟評價方法可以選擇出一個符合評價標(biāo)準(zhǔn)的可行方案組合。因此，有約束條件的獨立方案的選擇可以通過方案組合轉(zhuǎn)化為互斥方案的比選，其評價的基本步驟如下。

1.分別對各獨立方案進行絕對效果檢驗。即剔出NPV<0的方案；

2.對通過絕對效果檢驗的方案，列出不超過總投資限額的所有組合投資方案，則這些組合方案之間具有互斥的關(guān)系；

3.將各組合方案按初始投資額大小順序排序，按互斥方案的比選原則，選擇最優(yōu)的方案組合，即分別計算各組合方案的凈現(xiàn)值，以凈現(xiàn)值最大的組合方案為最佳方案組合。

當(dāng)方案數(shù)目較大時，由于方案組合數(shù)(2n)較大，采用組合互斥法雖然可行但是工作量較大，所以方案數(shù)目大時常用規(guī)劃軟件求解，或者設(shè)計算法求解。

以上的評價方法是針對確定條件下（現(xiàn)金流量和參數(shù)為實數(shù)）的經(jīng)濟評價。經(jīng)濟評價時，評價的一些基礎(chǔ)數(shù)據(jù)能夠準(zhǔn)確地估計出來，而另一些數(shù)據(jù)卻不能。雖然某些數(shù)據(jù)（現(xiàn)金流量和參數(shù)）不能準(zhǔn)確估計出，但是通過工程實踐，人們往往能夠知道現(xiàn)金流量和參數(shù)的分布情況。當(dāng)方案的現(xiàn)金流量和參數(shù)為隨機分布時，評價問題就成了隨機條件下的經(jīng)濟評價。和確定條件下的經(jīng)濟評價一樣，隨機條件下的經(jīng)濟評價也主要面臨三種類型方案的評價：獨立方案、互斥方案和資金有限獨立方案。對于前兩種類型方案的經(jīng)濟評價在技術(shù)經(jīng)濟和工程經(jīng)濟等文獻(xiàn)中基本都有所涉及，但是對第三種方案的經(jīng)濟評價尚很少探討。

本文將探討隨機條件下，如何在決策準(zhǔn)則下排序選擇資金有限獨立方案。本文將介紹隨機條件下的決策準(zhǔn)則及其在方案經(jīng)濟評價中的求解措施；給出隨機條件下資金有限獨立方案決策的一般模型和該模型的求解方法，最后給出數(shù)值案例利用組合互斥法展示隨機條件下資金有限獨立方案的經(jīng)濟評價。

二、隨機條件下的決策準(zhǔn)則及其數(shù)值計算

隨機條件下進行經(jīng)濟評價時，方案的現(xiàn)金流量或參數(shù)具有隨機性，按此現(xiàn)金流量和參數(shù)獲得的評價指標(biāo)（如凈現(xiàn)值）也是隨機變量。經(jīng)濟評價時需要對方案進行排序選擇，所以，隨機條件下，進行經(jīng)濟評價時首先要解決的問題是如何對評價指標(biāo)為隨機變量的方案進行排序。如前所述，評價指標(biāo)為隨機變量，也就是說，隨機條件下的經(jīng)濟評價首先要解決的問題是如何對隨機變量排序的問題。在目前的文獻(xiàn)中，隨機條件下對隨機變量的排序通常是通過決策準(zhǔn)則來完成。隨機條件下決策準(zhǔn)則較多，因此，隨機條件下經(jīng)濟評價需要回答兩個基本問題：一個就是決策者利用何種決策準(zhǔn)則（實質(zhì)上就是利用何種方法排序隨機變量），隨機條件下常用的決策準(zhǔn)則有期望準(zhǔn)則、方差準(zhǔn)則、期望方差準(zhǔn)則和概率值準(zhǔn)則。本文的研究中主要采用期望準(zhǔn)則，但也可以類推到其他準(zhǔn)則。另一個問題是如何獲取這些決策準(zhǔn)則的計算值。關(guān)于這些值的一般計算方法在概率論和數(shù)理統(tǒng)計類教材和文獻(xiàn)中均有詳細(xì)介紹，在方案經(jīng)濟評價中，確定這些決策準(zhǔn)則計算值的主要途徑有兩種：一是利用中心極限定理確定。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)方案的現(xiàn)金流量足夠多時，方案的評價指標(biāo)近似服從正態(tài)分布，因此，在此理論下，由于評價指標(biāo)的分布已知，問題的關(guān)鍵在于確定出分布的期望值和方差值，當(dāng)期望值和方差值已知后，就可以利用正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化等技術(shù)計算概率值。經(jīng)濟評價時，能利用中心極限定理的情況需滿足條件:（1)現(xiàn)金流量足夠多；(2)方案的各期隨機現(xiàn)金流量相互獨立；(3)方案的參數(shù)（折現(xiàn)率）為確定值。其中(1)是滿足中心極限定理的前提條件；(2)和(3)是方便期望值和方差值的計算，因為當(dāng)現(xiàn)金流量不獨立時方差不易確定，同時當(dāng)參數(shù)(折現(xiàn)率)為隨機變量時，由于折現(xiàn)系數(shù)方次較高，所以直接確定期望方差較難。二是利用隨機模擬確定。對于隨機條件下的問題基本上都可以采用隨機模擬求解期望、方差和發(fā)生概率。

三、基本假設(shè)和基本問題模型

1.基本假設(shè)

為了文中表述的方便，這里首先做出一些基本假設(shè)：

（1)各方案間相互獨立。（2)方案中各現(xiàn)金流量相互獨立。（3)將各方案中的投資現(xiàn)金流量和總的資金限額均表述為隨機變量。這個假設(shè)主要是為了將分析問題更一般化，投資現(xiàn)金流量也可能不為隨機變量，而為確定量，同時，資金限額也可能為確定量。當(dāng)以上兩者或其中一個為確定量時，仍然可按后敘方法進行分析。（4)決策者決策時采用期望值準(zhǔn)則；這個假設(shè)也僅僅是為了后面模型的表述，決策者也可以采用其他的決策準(zhǔn)則，在應(yīng)用時，只需將后面模型里面的期望值準(zhǔn)則換成其他準(zhǔn)則即可推廣。（5)評價指標(biāo)采用凈現(xiàn)值指標(biāo)；同前面假設(shè)(4)一樣，這個假設(shè)也是為了表述模型的需要，如果評價者采用其他評價指標(biāo)，只需將模型里的凈現(xiàn)值指標(biāo)換成相應(yīng)的評價指標(biāo)即可。（6)各方案壽命確定且相等。由于假設(shè)采用的是凈現(xiàn)值指標(biāo)，所以方案比較時要求壽命相等。如果各方案的壽命為隨機變量，或者壽命確定但不相等，此時只需將模型里的凈現(xiàn)值指標(biāo)換成凈年值指標(biāo)即可。

2.基本模型

在滿足上述基本假設(shè)的前提下，隨機條件下資金有限獨立方案的經(jīng)濟評價的基本模型為：

式中表示第i個方案的凈現(xiàn)值，表示第方案的凈現(xiàn)值期望值；表示第i方案的總投資，表示第方案的投資的期望值，I表示總的資金限額，表示總的資金限額的期望值，為決策變量，=0表示不選第方案，=1表示選擇i方案。

該模型為0-1整數(shù)規(guī)劃的隨機期望值模型。求解時，當(dāng)n(方案個數(shù))較大或折現(xiàn)率為隨機變量時(折現(xiàn)函數(shù)方次較高不易確定期望值），通常需要借助計算軟件或編寫計算程序（使用算法）來實現(xiàn)；當(dāng)n(方案個數(shù))較小且折現(xiàn)率為確定值時，可以通過枚舉法——組合方案互斥法來完成。本文將討論當(dāng)n(方案個數(shù))較小的情況，n(方案個數(shù))較大的情況將在后續(xù)的研究中進行探討。

四、模型求解——組合互斥法

組合互斥法的基本思想就是將獨立方案通過完全組合的辦法將個獨立方案組合成個互斥方案，然后利用互斥方案選擇的方法選擇方案。該方法實質(zhì)上就是采用枚舉法求解該規(guī)劃問題，本文給出隨機條件下資金有限獨立方案的組合互斥法的求解過程：

1.分別對各獨立方案進行“絕對效果檢驗”。按照本文所采用的期望值決策準(zhǔn)則假設(shè)，該步驟就是分別計算各獨立方案的凈現(xiàn)值期望值，并判斷其是否大于等于零，然后剔除掉凈現(xiàn)值期望值小于零的方案。

2.組合通過“絕對效果檢驗”的獨立方案

3.計算各方案組合的投資期望值并判斷該值是否大于投資限額的期望值，剔除投資期望值大于投資限額期望值的方案組合，保留投資期望值小于等于投資限額期望值的方案組合。

4.計算保留方案組合的凈現(xiàn)值期望值，選擇凈現(xiàn)值期望值最大的方案組合。

五、數(shù)值案例

設(shè)某部門未來的資金額可能為8000～8200，各值均可能發(fā)生。該部門現(xiàn)有A、B、C三個獨立方案，各方案的初始投資、年收益和年支出均為隨機變量，具體如表1所示。公司要求的最低收益率為15%，該部門會選擇哪些方案？

根據(jù)上面所給的方案選擇過程有：

1.分別對各獨立方案進行“絕對效果檢驗”

式中，(P/A,15%,5)為折現(xiàn)率為15%，年限為5年的年金現(xiàn)值系數(shù)，其值為3.3522。通過第一步分析可知三個方案的凈現(xiàn)值期望值均大于零，三個方案都通過了“絕對效果檢驗”。

2.組合通過“絕對效果檢驗”的獨立方案

對A、B、C三個方案進行組合，共有23＝8各組合方案(如表2所示）。

3.計算各方案組合的投資期望值(如表2第三列所示),并判斷該值是否大于投資限額的期望值((8000+8200)/2=8100),剔除投資期望值大于投資限額期望值的方案組合(A+B+C）,保留投資期望值小于等于投資限額期望值的方案組合,即序號1-7的組合方案。

4.計算保留方案組合的凈現(xiàn)值期望值(如表2最后一列所示），通過比較保留組合方案的凈現(xiàn)值期望值，可知A+C組合方案的凈現(xiàn)值期望值最大，所以選擇A+C兩方案。

六、結(jié)論

本文討論了隨機條件下如何利用決策準(zhǔn)則對資金有限獨立方案進行評價選優(yōu)。簡單介紹了隨機條件下的決策準(zhǔn)則，并給出在方案的評價選擇實際中，隨機條件下決策準(zhǔn)則值的計算措施：中心極限定理和隨機模擬。給出了隨機條件下資金有限獨立方案選擇的一般模型和解法（算法求解和組合互斥法求解）。并討論組合互斥法求解的一般過程。最后給出數(shù)值案例展示了組合互斥法的具體應(yīng)用。但算法求解本文尚未探討，這是未來需要解決的問題。當(dāng)方案的個數(shù)較多且折現(xiàn)率又為隨機變量時，組合互斥法討論起來較困難，因為一方面組合方案數(shù)目較大(n2)，另一方面決策值計算還需要隨機模擬。

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