量子力學的應用

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量子力學的應用范文第1篇

關鍵詞 變分法；量子力學；最優控制

中圖分類號：G712 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2014）02-0122-03

20世紀二三十年代，奧地利物理學家薛定諤提出一種可以進行微觀粒子體系運動行為的一波方程，被人稱之為薛定諤方程。通過進行薛定諤方程求解，可以獲得體系波函數，應用體系波函數，可以確定體系性質，此后有學者對相對論效應狄拉克方程的確定進行了研究。這些研究成果的出現，讓人們認為量子力學其普遍理論似乎已經基本完成，人類已經基本知曉了絕大部分物理學及物理定律。解決問題困難及關鍵僅在于如何將這些定律進行現實應用。狄拉克認為，隨著體系的不斷增加，薛定諤方程或狄拉克方程幾乎是不可解的。

針對這種現象，求解其方程的近似方法不斷被研究。在物理量子學領域，進行薛定諤法方程求解，其主要方法包括微擾法及變分法。束縛定態是建立于不含時間的薛定諤方程，即在能量變分原理的等價性基礎上，能量本征值方程解是通過對能量極值的求解來完成的。在進行具體問題處理的過程中，通過波函數中一些特殊變化將最普遍任意變分進行替代，通過這種方法可以獲得依賴于波函數特殊形式的一種近似解，這種解決問題的方法被稱之變分法。變分法用在解決如量子力學等物理問題領域。變分法的應用，其優勢在于運用變分法進行方程求解并不會受到限制，在保證變分函數良好的基礎上，即可實現對體系基態性質的研究。

1 變分法概述

變分法與處理數函數普通微積分表現出相對立關系。泛函是通過位置函數導數及相應位置函數積分來實現相應構造。變分法應用的最終目的在于找出更好的極值函數，通過變分法，獲得泛函最大值或最小值。歐拉-拉格朗日方程式屬于變分法最重要定理。通過變分法，可以獲得相應泛函臨界點，在處理量子力學及其他物理問題時應用優勢十分明顯。

在解決量子力學問題時，解決微擾問題最為廣泛的方法是應用微擾法及變分法。如應用微擾法進行量子力學問題的解決，其條件則為體系的哈密頓算符。可以分為及兩個部分，則有：

= +

在微擾法中，本征函數及本征值屬于已知，則很小，如在解決問題時其滿足微擾法求解問題的基本條件，則可以實現量子問題求解。然而在實際應用中，進行全體必要的矩陣元求和計算是十分困難的，其解決問題存在著一定的局限性。應用變分法則不會受到條件限制。如將體系哈密頓算符本征值由小到大進行排列，其順序如下：

E0，E1，E2，…En，… （1）

計算這些本征值對應本征函數，則有：

Ψ0，Ψ1，Ψ2，…，Ψn，… （2）

在公式中，E0代表的是基態能量，Ψ0代表的是基態波函數。為便于研究，假設與本征值En是保持對立的，本征函數Ψn組成正交歸一系，則有：

Ψn=En+Ψn （3）

在公式中，設Ψ屬于任意歸一化波函數，將公式展開后獲得：

（4）

在進行Ψ狀態描述時，其體系能量平均值則為：

（5）

通過公式整理，則可以獲得：

（6）

因E0代表的是基態能量，為此，則有E0

（7）

=E0屬于Ψ歸一條件，則有：

（8）

公式（8）不等式說明，在進行任意波函數Ψ求解時所獲得的平均值總是較之基態能量較大，在進行Ψ平均值求解時，其中最小平均值與E0最接近。當Ψ作為體系中Ψ0基態波函數時，此時基態能量E0則與平均值保持一致。由此，實現變分法基態能量及基態波函數體系求解。

2 量子力學變分原理

如下，為某個微觀體系薛定諤方程：

（9）

該薛定諤方程為變分問題歐拉微分方程，其變分問題求解則是對其能量積分進行求解，則有：

（10）

能量積分極小值為：

（11）

將體系哈密頓量設為H，則有：

（12）

在滿足歸一化條件的基礎上，進行公式整理，則有：

（13）

實踐證明，經過歐拉微積方程整理，可以獲得薛定諤方程，證明微觀體系薛定諤方程是可以讓能量積分獲得極值時的歐拉微分方程。以上公式，則為量子力學中變分原理。

3 變分法在量子力學中的應用案例

在量子物理或經典物理中，一維諧振子與很多物理現象存在較大關系，甚至可以將任何體系在穩定平衡點位置所進行的運動看作一種近似一維諧振子，如核振動、晶體結構離子及中原子振動等。本文在分析量子力學變分原理的基礎上，進行一維諧振子研究。將諧振子質量設為m，并沿x軸進行直線運動，則諧振子所受到勢能為，可以通過以下公式進行哈密頓量表示：

（14）

體系試探波函數為，按照歸一化條件，可以獲得。則有：

（15）

通過公式調整，可以獲得以積分公式：

（16）

通過計算后獲得：

（17）

并獲得體系最低能量值為：

（18）

相應函數簡化后為：

（19）

通過檢驗后發現，這種計算結果與求解結果相同，證明所選取的變分函數良好。圖1為典型a下線性諧振子波函數及位置幾率密度分布圖。

波函數能夠滿足高斯型分布，在x=0位置，存在明顯峰值，隨著a逐漸降低，其峰值降低，且峰寬度逐漸增加。從圖1中可以看出，波函數幾率密度分布狀況與波函數、分布曲線形狀基本保持一致。應用變分法所求解出的波函數幾率分布存在一定差異。由此可以看出，應用變分法解決量子力學問題時，雖然其可以簡單方便地進行體系基態性質求解，但其屬于解決問題的近似方法，其近似程度隨著參數變化發生變化。只有保證所選擇的波函數滿足邊界條件及歸一化條件，參數越多時，其結果越好。

變分法其應用的優點在于其求解過程并不受到什么限制，但其結果好壞完全是由嘗試波函數選擇來確定。為此，在應用結構變分法解決物理量子力學問題時，應保證變分法所選擇的嘗試波函數的合理性及科學性。

4 結語

當前，微擾法及變分法是處理物理量子力學問題常見的方法。微擾法求解存在一定局限性，變分法求解并不受到任何限制，變分法屬于處理函數的一種方式，與處理數的函數的普通微積分保持著相對立關系。應用變分法，可以實現泛函臨界點對應。變分法在解決物理問題中發揮著十分重要的作用，尤其是在量子力學領域。本文在概述變分法的基礎上，對量子力學變分原理進行分析，并通過一維諧振子對變分法在量子力學中的應用進行分析。通過實踐證明，變分法在處理量子力學問題方面具有較大優勢，保證嘗試波函數選擇合理性，是實現變分法效果的關鍵。

參考文獻

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量子力學的應用范文第2篇

Introductionto Quantum Mechanics

Schrodinger Equation and Path Integral，

2nd Edition

2012，950 p

Hardcover

ISBN9789814397735

Harald J W MüllerKirsten著

薛定諤在1926年建立了以他的名字命名的方程，開創了量子力學進入嚴格的和近似定量計算的新局面，促進量子力學迅速擴展了應用能力和范圍。20年之后費曼提出了量子力學的路徑積分形式，并證明了與薛定諤方程的等價性。它不僅能夠解決量子力學中的一般的定量計算問題，而且在隨后幾十年的量子場論和規范場論的發展過程中起了不可替代的重要作用。這兩種定量處理方法各有優劣，薛定諤方程對于量子力學問題的處理無疑具有極大的優點，其圖像清晰而且在數學上有許多為物理學家熟悉的成熟處理方法，受到物理學家的普遍歡迎。相比之下，路徑積分方法的使用要麻煩得多。但近年來，人們越來越發現路徑積分方法在很多應用中有著獨特的優越性。對于這兩種方法，已經有許多優秀的量子力學教科書以及專著分別給出了非常詳細的討論。但是將兩種方法對同一問題的解決辦法進行相互對照與比較，從而對于各自的優點和特定的應用范疇有更深刻的理解的著作還十分罕見，本書填補了這一空白。

這是一部量子力學的教科書，它涵蓋了作為導論性課程所有的主要內容，不但詳述了各種位勢下薛定諤方程的微擾解，介紹并算出了對應的路徑積分的解，而且還詳細地考慮了微擾展開的高階行為，這在其他類似的書籍中很少見到。本書的另一特點是沒有提供習題，而是結合課文的內容選用了大量例題，給出了非常詳細的計算細節，對于讀者的學習十分有利。

本書的第1版出版于2006年。第2版中，添加了許多重要的應用和很多實例。特別是關于Coulomb勢的一章被擴充到包含了化學鍵的介紹，而周期勢的一章補充了關于金屬和半導體能帶論的一節，而在高階行為的一章添加了關于漸進展開中成功地計算收斂因子的例證。

全書共分成29章：1.導言；2.哈密頓量子力學； 3.量子力學的數學基礎；4.狄拉克的右矢和左矢形式體系； 5.Schrdinger方程和Liouville定理；6.諧振子的量子力學； 7.Green函數；8.時間無關微擾論； 9.密度矩陣和極化現象； 10.量子理論：一般形式體系； 11.Coulomb 相互作用； 12.量子力學穿透；13.線性勢； 14.經典極限和WKB法； 15.冪次勢； 16.屏蔽Coulomb勢； 17.周期勢； 18.非簡諧振子勢； 19.奇異勢；20.微擾展開的高階行為；21.路徑積分形式； 22.經典場組態； 23.路徑積分和瞬子； 24.路徑積分與沿一條線上的彈跳； 25.周期性的經典組態； 26.路徑積分和周期性的經典組態；27.約束系統量子化；28.量子-經典跨接作為相變；29.結束語。

本書對物理系的大學生和研究生以及數學和粒子物理的研究人員非常適用。對希望擴大自己量子力學技巧的理論物理學家和想要更進一步鉆研量子力學的其他專業的研究生以及所有對微擾方法、路徑積分及其在經典場倫中的應用感興趣的讀者都具參考價值。

丁亦兵，教授

（中國科學院大學）

量子力學的應用范文第3篇

本書從簡要概述經典物理、統計物理與量子力學之間的明顯不同開始，論證為什么量子力學的應用可以超出物理學的范圍，并且定義了量子社會科學。指出所謂的量子社會科學并不是要用適用微觀尺度的量子力學原理重新表述社會，而是嘗試借助量子力學的一些形式理論和概念，研究社會科學中的一些問題，包括在心理學、經濟學與金融學中量子概率效應的存在，提出并解答了一些基本問題。他們論證了社會科學體系中的信息處理在一定程度上可以利用量子力學的數學工具形式化的奇妙方法。本書建議了一種類-量子方法可以作為理解經濟學與金融學中心對象決策問題的有效工具。兩位作者還論證了概率相干性能夠用來解釋著名的Ellsberg決策佯謬中總概率規律的破壞，本書兩位作者對這一新奇的研究領域做出了一些領先的貢獻。

兩位作者深知這樣一本書所討論的內容是與直覺相反的，他們要把解釋亞原子行為發展起來的物理學理論用于解釋我們日常生活世界。盡管我們掌握了很多亞原子世界的精確知識，但是從來沒有關于這個世界的直接經驗。把微觀世界有效的理論用于宏觀世界可信度如何？這樣奇特的做法會不會令人擔憂？感興趣的讀者都可能提出這類問題。兩位作者的想法是，關于他們開創的這種做法的可行性，應該由讀者在讀過該書之后自己得到答案。

本書陳述的模型可以稱之為類-量子的，他們與量子物理沒有直接關系。作者強調指出，對于復雜的社會系統所做的信息處理可以通過量子力學的數學工具描述。正是在這個意義上，本書闡釋了金融市場、行為經濟學和決策問題。

把精確科學與社會科學聯系起來不是件輕而易舉的事。其中最為困難的問題是消除這樣的一種誤解，即似乎在物理學與社會系統模擬之間本來就應當存在一架橋梁。實際上，在一些特殊的社會系統中，所得結果的“物理等價物”幾乎毫無意義。

全書內容分4個部分，共15章。第1部分 社會科學中的物理概念，含第1-3章：1.經典、統計和量子力學，三合一概覽；2.經濟物理學； 3.量子社會科學。第2部分 數學與物理的預備知識，含第4-6章： 4.矢量的微積分學及其他數學預備知識；5.量子力學基本要素；6.Bohm力學的基本要素。第3部分 心理學中量子概率效應：基本問題及其答案，含第7-9章：7.簡略概述；8.心理學中的干涉效應——導論；9.決策的類量子模型。第四部分 經濟學、金融學與腦科學中的其他量子概率效應，含第10-15章：10.危機中的金融學/經濟學理論；11.金融與經濟學中的Bohm力學；12.BohmVigter模型和路徑模擬；13.對于經濟學/金融學理論的其他一些應用；14.大腦的類-量子處理的神經心理學起源；15.結論。

本書是面向經濟學和心理學以及物理學的研究人員的一部具有新穎、獨特觀點的專著，很具啟發性和創新性，對于希望開拓新的研究領域，特別是交叉學科相關領域的研究生以及研究人員很有參考價值。作者概述了進入該領域所需的數學預備知識和量子力學的基本概念以及社會科學相關的基礎知識，這對那些對這一問題感興趣并打算閱讀該書的讀者很有益處。

丁亦兵，教授

（中國科學院大學）

量子力學的應用范文第4篇

本書是由兩位在此領域中有頗多成果的意大利著名專家根據這方面的最新進展所寫的一本新的教科書性質的專著，它包括了熱動力學，統計力學和多體問題的經典課題和這方面的最新進展。

19世紀末，開爾文公爵發表著名的演說，其中提到以經典力學、經典熱力學和經典電磁理論為基礎的物理學大廈已經建成，后人只需要做些小修小補的工作。然而在明亮的物理學天空中飄著兩朵烏云，其中之一便是黑體輻射問題。實驗發現黑體輻射無法用連續能量的觀點來處理，這對經典的物理學提出了巨大的挑戰。為解決這一問題，一個嶄新的學科――量子力學應運而生。它是由普朗克最先提出，由愛因斯坦、波爾、薛定諤、狄拉克等天才的物理學家們發展完善，是公認的20世紀物理學最偉大的突破之一。本書回顧了量子力學的發展歷史，介紹了量子力學的基本知識，是一本優秀的量子力學教材。

全書共12章，分4個部分。第一部分 量子力學的提出與建立，包括第1章。分析了經典物理學對處理黑體輻射、光電效應和康普頓散射的困難，介紹海森堡不確定性原理、波爾對應原理、含時的與定態的薛定諤方程、物理實際對薛定諤方程解的限制、本征波函數與本征值、波函數的完備性與正交性、疊加原理、互補原理以及相位的概念。最后明_了量子力學的幾個基本假設，強調了薛定諤方程本質上是一種假設。第二部分 使用薛定諤波動方程處理量子力學問題，包括2-7章：2.求解一維無限深勢阱；3.自由粒子；4.線性諧振子；5.一維半無限有限高勢壘；6.勢壘隧穿處理α粒子衰變；7.一維有限深勢阱等模型的薛定諤方程的解。介紹球坐標空間，引入分離變量法，求解了氫原子的薛定諤方程。第三部分 使用海森堡矩陣力學處理量子力學問題，包括第8-10章：8.介紹角動量理論和自旋算符理論；9.介紹微擾理論；10.定態一級微擾和二級微擾，并成功應用于解釋Stark效應。最后介紹含時微擾，給出了費米黃金規則公式。第四部分 彈性散射理論，含第11-12章：11.并以剛球散射和方勢阱散射模型為例，求解散射振幅與微分截面；12.介紹狄拉克發展的酉算子和酉變換。

本書內容簡單，利于理解，適合作為物理系本科生的專業教材。與常見的量子力學教材相比，本書有兩個優勢，一是求解的數學過程完整且準確，可以幫助讀者建立堅實的數學基礎；二是在每一章的前言部分，都有對量子力學發展歷史的介紹，其中對當時的物理學家們的言行描寫尤為生動，妙趣橫生。如果讀者閱讀英文有困難，也可以參考北大曾謹言教授編寫的《量子力學》，兩本書內容相近，可以互為輔助。

本書內容涉及2個領域：熱力學和經典統計力學，其中包括平均場近似，波動和對于臨界現象的重整化群方法。作者將上述理論應用于量子統計力學方面的主要課題，如正規的Feimi和Luttinger液體，超流和超導。最后，他們探索了經典的動力學和量子動力學，Anderson局部化，量子干涉和無序的Feimi液體。

全書共包括21章和14個附錄，每章后都附有習題，內容為：1.熱動力學：簡要概述；2.動力學；3.從Boltzmann到BoltzmannGibbs；4.更多的系統；5.熱動力極限及其穩定性；6.密度矩陣和量子統計力學；7.量子氣體；8.平均場理論和臨界現象；9.第二量子化和HartreeFock逼近；10. 量子系統中的線性反應和波動耗散定理：平衡態和小擾動；11.無序系統中的布朗運動和遷移；12.Feimi液體；13.二階相變的Landau理論；14.臨界現象的LandauWilson模型；15.超流和超導；16.尺度理論；17.重整化群方法；18.熱Dreen函數；19.Feini液體的微觀基礎；20.Luttinger液體；21.無序的電子系統中的量子干涉；附錄A.中心極限定理；附錄B.Euler 伽馬函數的一些有用的性質；附錄C.Yang和Lee的第二定理的證明；附錄D.量子氣體的最可能的分布；附錄E.FeimiDirac和BoseEinstein積分；附錄F.均勻磁場中的Feimi氣體：Landau抗磁性；附錄G.Ising模型和氣體-格子模型；附錄H.離散的Matsubara頻率的和；附錄I.兩種液流的流體動力學：一些提示；附錄J.超導理論中的Cooper問題；附錄K..超導波動現象；附錄L.TomonagaLuttinger模型確切解的抗磁性方面；附錄M.無序的Fermi液體理論的細節；附錄N.習題解答。

本書適于理工科大學物理系的大學生、研究生、教師和理論物理、材料物理、超流和超導以及相變問題的研究者參考。

量子力學的應用范文第5篇

理論物理作為大學物理系本科的必修課，在大學生用一年到兩年的時間學完普通物理之后開始學習。傳統的所謂四大力學，即理論力學、熱力學和統計力學、電動力學、量子力學，應該在第三年和第四年學完。這四門課的分量都很重，用到的數學知識很多超過基礎的高等數學的范圍。因此，合適的教材對于師生都很重要。著名教材為數不少，最著名的像蘭道和他的助手撰寫的大部頭巨著，堪稱經典；但其難度通常超過一般大學生的接受水平，因而一些導論性的教程更受歡迎。而隨著現論物理學不斷向著更高水平、更深層次和更為廣泛的領域的發展，教材的內容也不斷地更新。本書正是在這種思想指導下編寫而成的。

作者從事大學理論物理學位課程教學30多年，積累了豐富的經驗，對傳統的理論物理的講授模式形成了自己一些獨特的看法。他嘗試以5個模塊形式，把他認為應該掌握的理論物理內容以一種統一的和自成體系的形式納入到單獨的一卷教程之中。這5個模塊涵蓋了20世紀理論物理學的所有重要分支，包括非相對論量子力學，熱與統計物理、多體理論，經典場論（包括狹義相對論和電磁學）以及相對論量子力學和夸克與輕子的相互作用的規范理論。

本書把這5個模塊分成20章。第一模塊為非相對論量子力學，含第1-4章： 1. 量子力學的基本概念；2.表象理論；3. 近似方法；4.散射理論。第二模塊為熱與統計物理，含第5-12章：5. 熱力學基礎；6. 量子態和溫度；7. 微觀狀態的概率和熵； 8.單原子理想氣體； 9. 經典熱力學的應用； 10. 熱力學勢及導數； 11.物質轉換和相圖； 12. FermiDirac和BoseEinstein統計。第三模塊為多體理論，含第13-16章：13. 多粒子系統量子力學和低溫熱力學； 14. 二次量子化； 15. 相互作用電子氣； 16. 超導。第四模塊為經典場論和廣義相對論.含第17-18章：17. 場的經典理論；18. 廣義相對論。第五模塊為相對論量子力學和規范理論，含第19-20章：19. 相對論量子力學；20. 夸克和輕子相互作用的規范理論。

本書的一個突出特點是完整地給出了所有重要結果的詳細數學證明，使一個完成了高中數學課程和大學第一年物理學學位課程的學生能夠理解和欣賞理論物理很多重要結果的導出過程。只要是完成了較高一點水平的數學課程，讀者都會發現，書中的每一部分都是他們所需要的。

本書描寫的理論概念和方法通常包含在一年級研究生的課程中。本書附錄中列出了一份推薦閱讀的書目清單，以便讀者參考。