二次根式有理化的方法
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二次根式有理化的方法范文第1篇
知識點一：
二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被開放數可以是數，也可以是單項式、多項式、分式等代數式，但必須注意：因為負數沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知識點二：取值范圍
1.
二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a≧0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數大于或等于零即可。
2.
二次根式無意義的條件：因負數沒有算術平方根，所以當a﹤0時，沒有意義。
知識點三：二次根式（）的非負性
（）表示a的算術平方根，也就是說，（）是一個非負數，即0（）。
注：因為二次根式（）表示a的算術平方根，而正數的算術平方根是正數，0的算術平方根是0，所以非負數（）的算術平方根是非負數，即0（），這個性質也就是非負數的算術平方根的性質，和絕對值、偶次方類似。這個性質在解答題目時應用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。
知識點四：二次根式（）的性質
（）
文字語言敘述為：一個非負數的算術平方根的平方等于這個非負數。
注：二次根式的性質公式（）是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公式也可以反過來應用：若，則，如：，.
知識點五：二次根式的性質
文字語言敘述為：一個數的平方的算術平方根等于這個數的絕對值。
注：
1、化簡時，一定要弄明白被開方數的底數a是正數還是負數，若是正數或0，則等于a本身，即；若a是負數，則等于a的相反數-a,即；
2、中的a的取值范圍可以是任意實數，即不論a取何值，一定有意義；
3、化簡時，先將它化成，再根據絕對值的意義來進行化簡。
知識點六：與的異同點
1、不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數a的算術平方根的平方，而表示一個實數a的平方的算術平方根；在中，而中a可以是正實數，0，負實數。但與都是非負數，即，。因而它的運算的結果是有差別的，?，而
2、相同點：當被開方數都是非負數，即時，=；時，無意義，而.
知識點七：二次根式的性質和最簡二次根式
如：不含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y
等；
含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等
（3）最終結果分母不含根號。
知識點八：二次根式的乘法和除法
1.積的算數平方根的性質
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
2.
乘法法則
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
二次根式的乘法運算法則，用語言敘述為：兩個因式的算術平方根的積，等于這兩個因式積的算術平方根。
3.除法法則
√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）
二次根式的除法運算法則，用語言敘述為：兩個數的算數平方根的商，等于這兩個數商的算數平方根。
4.有理化根式。
如果兩個含有根式的代數式的積不再含有根式，那么這兩個代數式叫做有理化根式,也稱有理化因式。
知識點九：二次根式的加法和減法
1
同類二次根式
一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。
2
合并同類二次根式
把幾個同類二次根式合并為一個二次根式就叫做合并同類二次根式。
3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的進行合并。
知識點十：二次根式的混合運算
1確定運算順序
2靈活運用運算定律
3正確使用乘法公式
4大多數分母有理化要及時
5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化
知識點十一：分母有理化
分母有理化有兩種方法
I.分母是單項式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多項式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b
如圖
注意：1.根式中不能含有分母
2.分母中不能含有根式。
一元二次方程知識點總結
一元二次方程知識點：
1.
一元二次方程的一般形式:
a≠0時，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有關問題時，多數習題要先化為一般形式，目的是確定一般形式中的a、
b、
c；
其中a
、
b,、c可能是具體數，也可能是含待定字母或特定式子的代數式.
2.
一元二次方程的解法:
一元二次方程的四種解法要求靈活運用，
其中直接開平方法雖然簡單，但是適用范圍較小；公式法雖然適用范圍大，但計算較繁，易發生計算錯誤；因式分解法適用范圍較大，且計算簡便，是首選方法；配方法使用較少.
3.
一元二次方程根的判別式:
當ax2+bx+c=0
(a≠0)時，Δ=b2-4ac
叫一元二次方程根的判別式.請注意以下等價命題：
Δ＞0
有兩個不等的實根；
Δ=0
有兩個相等的實根；
Δ＜0
無實根；
Δ≥0
有兩個實根（等或不等）.
4.
一元二次方程的根系關系：
當ax2+bx+c=0
(a≠0)
時，如Δ≥0，有下列公式：
5.
一元二次方程的解法
（1）
直接開平方法
（也可以使用因式分解法）
①
解為：
②
解為：
③
解為：
④
解為：
（2）
因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法
如：
此類方程適合用提供因此，而且其中一個根為0
（3）
配方法
①二次項的系數為“1”的時候：直接將一次項的系數除于2進行配方，如下所示：
示例：
②二次項的系數不為“1”的時候：先提取二次項的系數，之后的方法同上：
示例：
（4）公式法：一元二次方程，用配方法將其變形為：
①當時，右端是正數．因此，方程有兩個不相等的實根：
②
當時，右端是零．因此，方程有兩個相等的實根：
③
當時，右端是負數．因此，方程沒有實根。
備注：公式法解方程的步驟：
①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并確定出、、
②求出，并判斷方程解的情況。
③代公式：（要注意符號）
5．當ax2+bx+c=0
(a≠0)
時，有以下等價命題：
(以下等價關系要求會用公式
；Δ=b2-4ac
分析，不要求背記)
（1）兩根互為相反數
?
=
0且Δ≥0
?
b
=
0且Δ≥0；
（2）兩根互為倒數
?
=1且Δ≥0
?
a
=
c且Δ≥0；
（3）只有一個零根
?
=
0且≠0
?
c
=
0且b≠0；
（4）有兩個零根
?
=
0且=
?
c
=
0且b=0；
（5）至少有一個零根
?
=0
?
c=0；
（6）兩根異號
?
＜0
?
a、c異號；
（7）兩根異號，正根絕對值大于負根絕對值?
＜0且＞0?
a、c異號且a、b異號；
（8）兩根異號，負根絕對值大于正根絕對值?
＜0且＜0?
a、c異號且a、b同號；
（9）有兩個正根
?
＞0，＞0且Δ≥0
?
a、c同號，
a、b異號且Δ≥0；
（10）有兩個負根
?
＞0，＜0且Δ≥0
?
a、c同號，
a、b同號且Δ≥0.
6．求根法因式分解二次三項式公式：注意：當Δ＜
0時，二次三項式在實數范圍內不能分解.
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
或
ax2+bx+c=.
7．求一元二次方程的公式：
x2
-（x1+x2）x
+
x1x2
=
0.
注意：所求出方程的系數應化為整數.
8．平均增長率問題--------應用題的類型題之一
（設增長率為x）：
(1)
第一年為
a
,
第二年為a(1+x)
,
第三年為a(1+x)2.
（2）常利用以下相等關系列方程：
第三年=第三年
或
第一年+第二年+第三年=總和.
9．分式方程的解法：
10.
二元二次方程組的解法：
11．幾個常見轉化：
，
，
，
，
，
等
；
；
滬科版八年級數學下知識點總結
勾股定理知識總結：
一．基礎知識點：
1：勾股定理
直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）
要點詮釋：
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：
（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，，則，，）
（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊
（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題
2：勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關系a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形。
要點詮釋：
勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：
（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；
（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關系，若c2＝a2+b2，則ABC是以∠C為直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，則ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2
（定理中，，及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）
3：勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系
區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；
聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。
4：互逆命題的概念
如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。
5：勾股定理的證明
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是
①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變
②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理
常見方法如下：
方法一：，，化簡可證．
方法二：
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為
大正方形面積為
所以
方法三：，，化簡得證
6：勾股數
①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即中，，，為正整數時，稱，，為一組勾股數
②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如；；；等
③用含字母的代數式表示組勾股數：（為正整數）；
（為正整數）（，為正整數）
二、規律方法指導
1．勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化證明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關系的題目。
3．勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯誤。
4.
勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關系：a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加深對“數形結合”的理解．
我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）
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四邊形知識點：
一、關系結構圖：
二、知識點講解：
1．平行四邊形的性質（重點）：
ABCD是平行四邊形T
2.平行四邊形的判定（難點）：
.
3.
矩形的性質：
因為ABCD是矩形T
(4)是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸．
4矩形的判定：
矩形的判定方法：(1)有一個角是直角的平行四邊形；
(2)有三個角是直角的四邊形；
(3)對角線相等的平行四邊形；
(4)對角線相等且互相平分的四邊形．
T四邊形ABCD是矩形.
5.
菱形的性質：
因為ABCD是菱形T
6.
菱形的判定：
T四邊形四邊形ABCD是菱形.
7.正方形的性質：
ABCD是正方形T
8.
正方形的判定：
T四邊形ABCD是正方形.
名稱
定義
性質
判定
面積
平
行
四
邊
形
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
①
對邊平行；
②對邊相等；
③對角相等；
④鄰角互補；
⑤對角線互相平分；
⑥是中心對稱圖形
①定義；
②兩組對邊分別相等的四邊形；
③一組對邊平行且相等的四邊形；
④兩組對角分別相等的四邊形；
⑤對角線互相平分的四邊形。
S=ah(a為一邊長，h為這條邊上的高)
矩
形
有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形
除具有平行四邊形的性質外，還有：①四個角都是直角；
②對角線相等；
③既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。
①有三個角是直角的四邊形是矩形；
②對角線相等的平行四邊形是矩形；
③定義。
S=ab(a為一邊長，b為另一邊長)
菱
形
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
除具有平行四邊形的性質外，還有
①四邊形相等；
②對角線互相垂直，且每一條對角線平分一組對角；
③既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。
①四條邊相等的四邊形是菱形；
②對角線垂直的平行四邊形是菱形；
③定義。
①S=ah(a為一邊長，h為這條邊上的高)；
②(b、c為兩條對角線的長)
正
方
形
有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形
具有平行四邊形、矩形、菱形的性質：①四個角是直角，四條邊相等；
②對角線相等，互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；
③既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。
①有一組鄰邊相等的矩形是正方形；
②有一個角是直角的菱形是正方形；
③定義。
①(a為邊長)；
②(b為對角線長)
滬科版八年級數學下知識點總結
知識點1：表示數據集中趨勢的代表
平均數、眾數、中位數都是描述一組數據集中趨勢的特征數，只是描述的角度不同，其中平均數的應用最為廣泛。
知識點2：表示數據離散程度的代表
極差的定義：一組數據中最大值與最小值的差，能反映這組數據的變化范圍，我們就把這樣的差叫做極差。
極差=最大值－最小值，一般來說，極差小，則說明數據的波動幅度小。
知識點3：生活中與極差有關的例子
在生活中，我們經常用極差來描述一組數據的離散程度，比如一支籃球隊隊員中最高身高與最矮身高的差。一家公司成員中最高收入與最低收入的差。
知識點4：平均差的定義
在一組數據x1，x2，…，xn中各數據與它們的平均數的差的絕對值的平均數即T=叫做這組數據的“平均差”。
“平均差”能刻畫一組數據的離散程度，“平均差”越大，說明數據的離散程度越大。
知識點5：方差的定義
在一組數據x1，x2，…，xn中，各數據與它們的平均數差的平方，它們的平均數，即S2=來描述這組數據的離散程度，并把S2叫做這組數據的方差。
知識點6：標準差
方差的算術平方根，即用S=來描述這一組數據的離散程度，并把它叫做這組數據的標準差。
知識點7：方差與平均數的性質
若x1，x2，…xn的方差是S2，平均數是，則有
①x1+b，
x2+b…xn+b的方差為S2，平均數是+b
②ax1，
ax2，…axn的方差為a2s2，平均數是a
二次根式有理化的方法范文第2篇
差值比較法分四步：作差、變形、判斷符號、下結論。作差是依據，變形是手段，判斷差的符號才是目的。
商值比較法分四步：作商、變形、比較商與1的大小、下結論，注意分母的正負號。
關鍵是變形，變形的目的是判斷正負號或比較1的大小。 變形的技巧通常有以下九種：
一、化簡
作差，化簡是一種最常見的方法，即使不能直接判斷差的正負，也要先化簡，再作其它變形。
例1、求證a+3a-5
證明：a+3a-5-a+2a-4=a■-2a-15-a■-2a-8=-7
a+3a-5
二、通分
一般地，遇到分式先通分。通分，可以通分母，也可以通分子，通分母看分子，通分子看分母。
例2、已知a，b，m都是正數，并且a■
證明：■-■=■，
由于a，b，m都是正數，并且a
b+m>0，b-a>0
■>0
■>■
三、因式分解
因式分解，化“差”為“積”，幾個因式的積或商，有利于判斷正負。
例3、求證：若a>b>c，則bc■+ca■+ab■
證明：bc■+ca■+ab■-b■c+c■a+a■b=b-ac-ac-b a>b>c，b-a
（b-a）（c-a）（c-b）
bc■+ca■+ab■
四、配方
對于二次三項式，如果不能因式分解，就配方變成幾個正數（或負數）的和。
例4、求證（1）x2+3>2x （2）a2+b2≥2a-b-1
證明：（1）（x2+3）-2x=（x-1）2+2>0
x2+3>2x
（2）a■+b■-2a-b-1=a-1■+b+1■≥0
a2+b2≥2（a-b-1）
五、有理化
一般地，遇到根式先有理化，有理化分三種，分子有理化、分母有理化、分子分母同時有理化。
例5、已知a？莛1，M=■-■，N=■-■比較M與N的大小。
證明：
M-N=■-■-■-■=■- ■
=■
=--■
M
六、拼湊，拆項分組，幾個正數（或負數）的和
例6、已知a>b，c
證明：（a-c）（b-d）=（a-b）+（d-c）
a>b，c
a-b>0，d-c>0
（a-c）-（b-d）=（a-b）+（d-c）>0
a-c
例7、已知0
證明：a■-1-a=a■+a-1=a-■a+■-■
而0
a■
七、判別式
對于二次三項式，可以用判別式法。
例8、已知：a，b∈R求證：a■+b■？叟ab+a+b-1。
證明：a■+b■-ab+a+b-1=a■-b+1a+b■-b+1
對于a的二次三項式a■-b+1a+b■-b+1
=b+1■-4b■-b+1=-3b-1■？燮0
a■-b+1a+b■-b+1≥0
a2+b2≥ab+a+b-1
八、求最值
例9、已知0
證明：a■-1-a=a■+a-1
令y=a■+a-1=a+■■-■，而0
a2
九、分離常數
例10、已知a>0，b>0，求證：■+■≥■+■。
證明：■+■÷■+■=■= ■=1+■≥1
a>0，b>0
二次根式有理化的方法范文第3篇
一、填空題(共14小題，每小題2分，滿分28分)
1.如果在實數范圍內有意義，那么x滿足的條件__________.
2.化簡：=__________.
3.計算：2﹣=__________.
4.直角三角形中，斜邊及其中線之和為6，那么該三角形的斜邊長為__________.
5.已知反比例函數的圖象經過點(1，2)，那么反比例函數的解析式是__________.
6.計算
7.方程(m+1)x2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數根，則m的范圍__________.
8.某種原料價格為a元，如果連續兩次以相同的百分率x提價，那么兩次提價后的價格為__________.(用含a和x的代數式表示)
9.分解因式：x2﹣5x+2=__________.
10.某廠今年的產值是前年產值的翻一番，若平均年增長率為x，則可列方程__________.
11.y是x的正比例函數，當x=2時，y=，則函數解析式為__________.
12.已知y=(m﹣2)x是正比例函數，則m=__________.
13.到AOB的兩邊的距離相等的點的軌跡是__________.
14.如圖，已知RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，現將ABC進行折疊，使頂點A、B重合，則折痕DE=__________cm.
二、選擇題：(每題3分，滿分12分)
15.下列根式中，是最簡根式的是()
A.B.C.D.
16.在下列方程中，是一元二次方程的是()
A.2x2=(x﹣3)(2x+1)B.+3x+4=0C.3x2=x(x﹣4)D.(x2﹣1)=0
17.如圖，RtABC中，C=90，CDAB于D，E是AC的中點，則下列結論中一定正確的是()
A.4=5B.1=2C.4=3D.B=2
18.設k0，那么函數y=﹣和y=在同一直角坐標系中的大致圖象是()
A.B.C.D.
三、簡答題：(第19-22小題，每題5分;第23-24小題，每題7分;滿分34分)
19.計算：.
20.計算：(4﹣)0+[(2﹣3)2].
21.解方程：(2x+)2=12.
22.解方程：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)=15.
23.若關于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.
24.如圖，是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB長為24米，BC長15米，CD長為20米，DA長7米，C=90，求綠地ABCD的面積.
四、解答題：(第25-26小題，每題8分;第27小題10分，滿分26分)
25.如圖，OC平分AOB，P是OC上一點，D是OA上一點，E是OB上一點，且PD=PE.求證：PDO+PEO=180.
26.如圖所示，已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，并且與反比例函數的圖象在第一象限交于C點，CD垂直于x軸，垂足是D，若OA=OB=OD=1;
(1)求：點A、B、C、D的坐標;
(2)求反比例函數的解析式;
(3)求AOC的周長和面積.
27.如圖，已知：在ABC中，A=90，AB=AC=1，P是AC上不與A、C重合的一動點，PQBC于Q，QRAB于R.
(1)求證：PQ=CQ;
(2)設CP的長為x，QR的長為y，求y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍，并在平面直角坐標系作出函數圖象.
(3)PR能否平行于BC?如果能，試求出x的值;若不能，請簡述理由.
新人教版八年級上冊數學期末試卷參考答案
一、填空題(共14小題，每小題2分，滿分28分)
1.如果在實數范圍內有意義，那么x滿足的條件x.
【考點】二次根式有意義的條件.
【分析】根據二次根式有意義的條件可得2﹣3x0，再解不等式即可.
【解答】解：由題意得：2﹣3x0，
解得：x，
故答案為：x.
【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數.
2.化簡：=3x.
【考點】二次根式的性質與化簡.
【分析】根據二次根式的性質進行化簡即可.
【解答】解：由題意得，x0，
則=3x，
故答案為：3x.
【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握a0時，=a是解題的關鍵.
3.計算：2﹣=.
【考點】二次根式的加減法.
【分析】先把各根式化為最簡二次根式，再合并同類項即可.
【解答】解：原式=6﹣5
=.
故答案為：.
【點評】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式進行合并，合并方法為系數相加減，根式不變是解答此題的關鍵.
4.直角三角形中，斜邊及其中線之和為6，那么該三角形的斜邊長為4.
【考點】直角三角形斜邊上的中線.
【分析】根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.
【解答】解：CAB=90，CM=BM，
AM=BC，又AM+BC=6，
BC=4，
故答案為：4.
【點評】本題考查的是直角三角形的性質，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵.
5.已知反比例函數的圖象經過點(1，2)，那么反比例函數的解析式是.
【考點】待定系數法求反比例函數解析式.
【分析】把(1，2)代入函數y=中可先求出k的值，那么就可求出函數解析式.
【解答】解：由題意知，k=12=2.
則反比例函數的解析式為：y=.
故答案為：y=.
【點評】本題考查了待定系數法求解反比例函數解析式，此為近幾年中考的熱點問題，同學們要熟練掌握.
6.計算
【考點】實數的運算.
【分析】首先進行分母有理化，然后進行根式的運算即可求解.
【解答】解：==(﹣)=3.
【點評】此題主要考查了實數的運算.無理數的運算法則與有理數的運算法則是一樣的.注意：表示a的算術平方根.
7.方程(m+1)x2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數根，則m的范圍m﹣2且m﹣1.
【考點】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】由關于x的方程(m+1)x2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數根，根據的意義得到m+10，且0，即4+4(m+1)0，解不等式組即可得到m的取值范圍.
【解答】解：關于x的方程(m+1)x2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數根，
m+10，且0，即4+4(m+1)0，解得m﹣2，
m的取值范圍是：m﹣2且m﹣1.
故答案為：m﹣2且m﹣1.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判別式=b2﹣4ac：當0，方程有兩個不相等的實數根;當=0，方程有兩個相等的實數根;當0，方程沒有實數根.
8.某種原料價格為a元，如果連續兩次以相同的百分率x提價，那么兩次提價后的價格為a(1+x)2.(用含a和x的代數式表示)
【考點】列代數式.
【分析】先求出第一次提價以后的價格為：原價(1+提價的百分率)，再根據現在的價格=第一次提價后的價格(1+提價的百分率)即可得出結果.
【解答】解：第一次提價后價格為a(1+x)元，
第二次提價是在第一次提價后完成的，所以應為a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元.
故答案為：a(1+x)2.
【點評】本題考查根據實際問題情景列代數式，難度中等.若設變化前的量為a，平均變化率為x，則經過兩次變化后的量為a(1x)2.
9.分解因式：x2﹣5x+2=(x﹣+)(x﹣﹣).
【考點】實數范圍內分解因式.
【分析】首先可將原式變形為(x﹣)2﹣，再利用平方差公式分解即可求得答案.
【解答】解：x2﹣5x+2
=x2﹣5x+﹣+2
=(x﹣)2﹣
=(x﹣+)(x﹣﹣).
故答案為：(x﹣+)(x﹣﹣).
【點評】本題考查了實數范圍內的因式分解.注意此題將原式變形為(x﹣)2﹣是關鍵.
10.某廠今年的產值是前年產值的翻一番，若平均年增長率為x，則可列方程(1+x)2=2.
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.
【專題】增長率問題.
【分析】設平均年增長率為x，前年的產值為a，根據題意可得，今年產值(1+x)2=2今年產值，據此列方程.
【解答】解：設平均年增長率為x，前年的產值為a，
由題意得，a(1+x)2=2a，
即(1+x)2=2.
故答案為：(1+x)2=2.
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列出方程.
11.y是x的正比例函數，當x=2時，y=，則函數解析式為y=x.
【考點】待定系數法求正比例函數解析式.
【分析】設y與x的解析式是y=kx，把x=2，y=代入求出k即可.
【解答】解：設y與x的解析式是y=kx，
把x=2，y=代入得：=2k，
解得k=，
即y關于x的函數解析式是y=x，
故答案為：y=x.
【點評】本題考查了用待定系數法求正比例函數的解析式的應用，注意：正比例函數的解析式是y=kx(k為常數，k0).
12.已知y=(m﹣2)x是正比例函數，則m=﹣2.
【考點】正比例函數的定義.
【分析】根據正比例函數的次數是1，系數不等于0列式計算即可得解.
【解答】解：根據題意得，m2﹣3=1且m﹣20，
解得m=2且m2，
所以，m=﹣2.
故答案為：﹣2.
【點評】本題考查了正比例函數的定義，解題關鍵是掌握正比例函數的定義條件：正比例函數y=kx的定義條件是：k為常數且k0，自變量次數為1.
13.到AOB的兩邊的距離相等的點的軌跡是AOB的平分線.
【考點】軌跡.
【分析】根據角的平分線就是到角的兩邊相等的點的軌跡，據此即可解答.
【解答】解：到AOB的兩邊的距離相等的點的軌跡是：AOB的平分線.
故答案是：AOB的平分線.
【點評】本題考查了點的軌跡，正確理解角平分線的定義是關鍵.
14.如圖，已知RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，現將ABC進行折疊，使頂點A、B重合，則折痕DE=1.875cm.
【考點】翻折變換(折疊問題);勾股定理;軸對稱的性質;相似三角形的判定與性質.
【專題】壓軸題.
【分析】根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.
【解答】解：在直角ABC中AB===5cm.則AE=AB2=2.5cm.
設DE=x，易得ADE∽ABC，
故有=;
=;
解可得x=1.875.
故答案為：1.875.
【點評】本題通過折疊變換考查學生的邏輯思維能力，解決此類問題，應結合題意，實際操作圖形的折疊，易于找到圖形間的關系.
二、選擇題：(每題3分，滿分12分)
15.下列根式中，是最簡根式的是()
A.B.C.D.
【考點】最簡二次根式.
【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.
【解答】解：A、被開方數含分母和能開得盡方的因式，不是最簡二次根式;
B、被開方數含能開得盡方的因式，不是最簡二次根式;
C、是最簡二次根式;
D、被開方數含能開得盡方的因式，不是最簡二次根式.
故選C.
【點評】本題考查最簡二次根式的定義.根據最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：(1)被開方數不含分母;(2)被開方數不含能開得盡方的因數或因式.
16.在下列方程中，是一元二次方程的是()
A.2x2=(x﹣3)(2x+1)B.+3x+4=0C.3x2=x(x﹣4)D.(x2﹣1)=0
【考點】一元二次方程的定義.
【分析】根據一元二次方程的定義：未知數的次數是2;二次項系數不為0;整式方程;含有一個未知數.由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案.
【解答】解：A、2x2=(x﹣3)(2x+1)是一元一次方程，故A錯誤;
B、+3x+4=0是分式方程，故B錯誤;
C、3x2=x(x﹣4)是一元二次方程，故C正確;
D、(x2﹣1)=0是無理方程，故D錯誤;
故選：C.
【點評】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數且未知數的次數是2.
17.如圖，RtABC中，C=90，CDAB于D，E是AC的中點，則下列結論中一定正確的是()
A.4=5B.1=2C.4=3D.B=2
【考點】直角三角形斜邊上的中線.
【分析】根據直角三角形兩銳角互補的性質和斜邊中線的性質進行解答即可.
【解答】解：RtABC中，C=90，
A+B=90.
CDAB，
5+B=90，
5=A，
E是AC的中點，
DE=AE，
4=A，
4=5，
故選：A.
【點評】本題考查的是直角三角形兩銳角互補的性質和斜邊中線的性質，掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半是解題的關鍵.
18.設k0，那么函數y=﹣和y=在同一直角坐標系中的大致圖象是()
A.B.C.D.
【考點】反比例函數的圖象;正比例函數的圖象.
【分析】根據正比例函數y=kx的性質：k0，圖象經過原點，在第一、三象限;反比例函數y=的性質：k0，圖象在第二、四象限的雙曲線可得答案.
【解答】解：k0，
﹣0，
函數y=﹣的圖象經過原點，在第一、三象限，
k0，
y=的圖象在第二、四象限，
故選：D.
【點評】此題主要考查了正比例函數和反比例函數的性質，關鍵是掌握兩個函數的性質.
三、簡答題：(第19-22小題，每題5分;第23-24小題，每題7分;滿分34分)
19.計算：.
【考點】二次根式的乘除法.
【分析】根據二次根式的乘法法則和除法法則求解.
【解答】解：原式=
=x.
【點評】本題考查了二次根式的加減法，解答本題的關鍵是掌握二次根式的乘法法則和除法法則.
20.計算：(4﹣)0+[(2﹣3)2].
【考點】實數的運算;分數指數冪;零指數冪.
【分析】分別根據0指數冪的計算法則，數的乘方及開方法則計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可.
【解答】解：原式=+1+3﹣2
=+2+1+3﹣2
=6﹣.
【點評】本題考查的是實數的運算，熟知0指數冪的計算法則，數的乘方及開方法則是解答此題的關鍵.
21.解方程：(2x+)2=12.
【考點】平方根.
【分析】根據平方根的概念進行解答即可.
【解答】解：(2x+)2=12，
2x+=2，
2x=2﹣，
x1=，x2=﹣.
【點評】本題考查的是用直接開平方法解一元二次方程，掌握平方根的定義是解題的關鍵.
22.解方程：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)=15.
【考點】解一元二次方程-因式分解法.
【專題】計算題.
【分析】先移項得到：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)﹣15=0，然后把方程看作關于x﹣1的一元二次方程，再利用因式分解法解方程.
【解答】解：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)﹣15=0，
[(x﹣1)﹣5][(x﹣1)+3]=0，
(x﹣1)﹣5=0或(x﹣1)+3=0，
所以x1=﹣6，x2=﹣2.
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了(數學轉化思想).
23.若關于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.
【考點】根的判別式.
【專題】探究型.
【分析】先根據一元二次方程有兩個不相等的實數根得出0，再求出k的取值范圍即可.
【解答】解：關于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有兩個不相等的實數根，
，
解得k.
所以k的取值范圍是k且k2.
【點評】本題考查的是一元二次方程根的判別式及一元二次方程的定義，根據題意列出關于k的不等式是解答此題的關鍵.
24.如圖，是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB長為24米，BC長15米，CD長為20米，DA長7米，C=90，求綠地ABCD的面積.
【考點】勾股定理;勾股定理的逆定理.
【分析】連接BD，先根據勾股定理求出BD的長，再由勾股定理的逆定理判定ABD為直角三角形，則四邊形ABCD的面積=直角BCD的面積+直角ABD的面積.
【解答】解：連接BD.如圖所示：
C=90，BC=15米，CD=20米，
BD===25(米);
在ABD中，BD=25米，AB=24米，DA=7米，
242+72=252，即AB2+BD2=AD2，
ABD是直角三角形.
S四邊形ABCD=SABD+SBCD
=ABBD+BCCD
=247+1520
=84+150
=234(平方米);
即綠地ABCD的面積為234平方米.
【點評】本題考查勾股定理及其逆定理的應用.解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出直角三角形，求出BD的長.
四、解答題：(第25-26小題，每題8分;第27小題10分，滿分26分)
25.如圖，OC平分AOB，P是OC上一點，D是OA上一點，E是OB上一點，且PD=PE.求證：PDO+PEO=180.
【考點】全等三角形的判定與性質;角平分線的性質.
【專題】證明題.
【分析】如圖，作輔助線，證明PMD≌PNE，得到MDP=PEN，即可解決問題.
【解答】證明：如圖，過點P作PMOA，PNOE;
OC平分AOB，
PM=PN;
在PMD與PNE中，
，
PMD≌PNE(HL)，
MDP=PEN;
MDP+ODP=180，
PDO+PEO=180.
【點評】該題主要考查了角平分線的性質、全等三角形的判定及其性質等幾何知識點的應用問題;解題的關鍵是作輔助線;牢固掌握定理是靈活運用、解題的基礎和關鍵.
26.如圖所示，已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，并且與反比例函數的圖象在第一象限交于C點，CD垂直于x軸，垂足是D，若OA=OB=OD=1;
(1)求：點A、B、C、D的坐標;
(2)求反比例函數的解析式;
(3)求AOC的周長和面積.
【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.
【專題】計算題.
【分析】(1)由OA=OB=OD=1可直接得到點A、B、C、D的坐標;
(2)先利用待定系數法確定直線AB的解析式為y=x+1，由于CD垂直于x軸，垂足是D，則C點的橫坐標為1，再把x=1代入y=x+1得y=2，從而確定C點坐標為(1，2)，然后再利用待定系數法確定反比例函數的解析式;
(3)利用勾股定理分別計算出AC和OC，然后根據三角形的周長與面積公式分別計算AOC的周長和面積.
【解答】解：(1)OA=OB=OD=1，
點A坐標為(﹣1，0)，點B坐標為(0，1)，點C坐標為(1，2);點D的坐標為(1，0).
(2)設直線AB的解析式為y=ax+b，
把A(﹣1，0)，B(0，1)代入得，
解得，
直線AB的解析式為y=x+1，
CD垂直于x軸，垂足是D，
C點的橫坐標為1，
把x=1代入y=x+1得y=2，
C點坐標為(1，2)，
設反比例函數的解析式為y=，
把C(1，2)代入得k=12=2，
故反比例函數的解析式為y=;
(3)在RtACD中，AD=2，CD=2，
AC==2，
在RtOCD中，OD=1，CD=2，
OC==，
AOC的周長=OA+OC+AC=1++2;
AOC的面積=OACD=12=1.
【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數的圖象的交點坐標滿足兩個函數的解析式;待定系數法是確定函數關系式常用的方法.也考查了勾股定理.
27.如圖，已知：在ABC中，A=90，AB=AC=1，P是AC上不與A、C重合的一動點，PQBC于Q，QRAB于R.
(1)求證：PQ=CQ;
(2)設CP的長為x，QR的長為y，求y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍，并在平面直角坐標系作出函數圖象.
(3)PR能否平行于BC?如果能，試求出x的值;若不能，請簡述理由.
【考點】動點問題的函數圖象.
【專題】計算題.
【分析】(1)易得ABC為等腰直角三角形，則B=C=45，然后利用PQCQ可得到PCQ為等腰直角三角形，所以PQ=CQ;
(2)根據等腰直角三角形的性質得BC=AB=，CQ=PC=x，同理可證得為BQR等腰直角三角形，則BQ=RQ=y，所以y+x=1，變形得到y=﹣x+(0
(3)由于AR=1﹣y，AP=1﹣x，則AR=1﹣(﹣x+)，當AR=AP時，PR∥BC，所以1﹣(﹣x+)=1﹣x，解得x=，然后利用0
【解答】(1)證明：A=90，AB=AC=1，
ABC為等腰直角三角形，
B=C=45，
PQCQ，
PCQ為等腰直角三角形，
PQ=CQ;
(2)解：ABC為等腰直角三角形，
BC=AB=，
PCQ為等腰直角三角形，
CQ=PC=x，
同理可證得為BQR等腰直角三角形，
BQ=RQ=y，
BQ+CQ=BC，
y+x=1，
y=﹣x+(0
如圖，
(3)解：不能.理由如下：
AR=1﹣y，AP=1﹣x，
AR=1﹣(﹣x+)，
當AR=AP時，PR∥BC，
即1﹣(﹣x+)=1﹣x，
解得x=，
x=舍去，
二次根式有理化的方法范文第4篇
在多年的初中數學教學中經常遇到這種現象：有的題學生解答不出來時，只要老師將題目念一邊，有時甚至讀到一半時，他們就會叫道：“哦，原來如此！”這是為什么呢？原因就出在學生的閱讀能力上。
同時，也發現在初中數學教學中，數學的閱讀教學也沒得到重視。有的老師整節課不讓學生打開課本，認為學生看了課本后，什么都知道了，沒什么可探究的，數學課本僅當習題集；有的老師雖然重視預習，也布置了閱讀作業，然而對學生的閱讀效果卻很少檢查，學生也少回頭審視，反思自己的閱讀收獲，自以為讀懂了，課堂上聽不好甚至不聽，結果預習反而影響了上課。常常是老師反復講解，學生被動接受，課堂教學效率不高。因此，指導學生進行有效閱讀，形成良好的閱讀習慣，培養學生的閱讀能力，使他們獲得終身學習的本領是非常必要的。
2培養初中生數學閱讀能力的措施
2.1三個重要環節。
在初中數學教學中，教師應抓住課前預習指導讀，課上研究深入讀，課后復習全面讀這三個重要環節，以此來提高學生的閱讀能力。
2.1.1課前預習指導讀。
課前預習指導讀，是引導學生閱讀入門、指導學生閱讀方法的重要途徑。數學教材不同于文科類的教材，它具有明顯的抽象性和簡潔性等特點。學生開始閱讀教材時，很可能會按照他們閱讀語文或小說的習慣而很少進行分析思考，結果收獲甚微，甚至失去閱讀興趣。此時，老師可在課前編好導讀提綱，引導和啟發學生在閱讀中思考：新知是怎樣引進的？與舊知識有何聯系？新知識將解決什么問題？概念怎樣得來？定理的條件、結論是什么燈問題。例如學生在閱讀《菱形》一節時，首先要從“有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形”得定義中認識到菱形也是平行四邊形――舊知，又要緊扣菱形畢竟是特殊的平行四邊形，即“鄰邊相等”這一補充條件――新知；于是我們不難知道菱形應具有平行四邊形的性質，這時就需要我們回顧平行四邊形的性質，然后再根據補充條件看一看菱形的邊、角、對角線、面積計算該有怎樣的變化？不明確的問題要仔細分析，相互討論或請教老師。
2.1.2課上研究深入讀。
培養學生閱讀數學教材的能力是數學課堂教學的一個重要任務。課上研究深入讀，是幫助學生閱讀入門、指導學生閱讀方法的重要途徑。教師可結合教學內容，用提問的方式檢查學生的預習情況，了解學生是否做了閱讀筆記，是否自己整理出本節的重點提綱。根據學生在閱讀中存在的問題進行具體分析指導，并開展全班性的探討。如學生獨立閱讀完《約分》一節例3 約分：
后可先問學生：第一小題約分時，分子分母同除以什么？4xy3實際上是什么？分子分母的公因式是如何確定的？（當分子分母的系數是整數時，取它們的最大公因數與分子分母中相同因式的最低次冪的積。）第二小題第一步應是因式分解，用什么方法分解？為什么要因式分解呢？（分解后出現了公因式可以約分。）再比較這兩小題有什么不同呢？ （第一小題分子分母都是單項式，第二小題分子分母都是多項式，要約分必須先要因式分解。）最后，設置一些易混易錯的題目讓學生練習，待他們暴露出各種問題后在讓他們閱讀有關課本內容，進行議論評價，使他們對課本中的內容有更加深刻的理解。
2.1.3課后復習全面讀。
課后復習全面讀，是促進學生閱讀入門、提高學生閱讀效率的重要方法。實踐證明，一次閱讀往往不能提取到材料中的全部信息，因此要重視復讀。所謂復讀就是在一單元或一章的內容學完后，教師要求學生對學過的知識進行復習性閱讀，目的是讓學生溫故而知新。具體的閱讀任務是：①通過閱讀，把本章節或單元的主要知識點按若干類別加以歸納、整理、系統化、概括化，以形成綱要或圖表，更好的理清知識間的關系，加強記憶；②提煉數學思想方法，把本單元或章節中出現的解題方法或思想明確化，書寫在閱讀筆記或章節總結里，以加深對思想方法的認識；③對本單元或章節中相關的或相似的數學對象進行異同比較，加深對概念、定理的理解；④對具有因果關系、隸屬關系的數學對象歸類成知識網絡等.這樣可以有效地訓練學生歸納概括的思維技能，以幫助學生系統地掌握知識。如在復習《二次根式》時，首先要歸納本章學過的公式及公式中字母的取值范圍。其次要總結二次根式化簡的兩種情況（被開方數的分解和分母有理化），然后進一步總結分母有理化中可能出現的幾種情況（含有理化因式的求法）。當自己通過閱讀課本、資料，并能以題目為例完成以上提綱后，就基本掌握了本章內容。
2.2注意的幾個問題。
除根據教材內容的不同，精心組織閱讀問題，選擇不同的閱讀指導方法外還要注意一下3個問題。
2.2.1合理安排閱讀時間。閱讀時間太長會影響教學進度；時間太短，又會導致閱讀流于形式。
2.2.2及時反饋閱讀信息。課堂閱讀實際上是一個交流信息，檢測閱讀質量的過程，教師可以采取提問，做題，互相討論等方式來檢查閱讀效果，隨時發現問題使指導閱讀更有針對性。
二次根式有理化的方法范文第5篇
關鍵詞：激趣；引疑；設誤
中圖分類號：G630 文獻標識碼：A 文章編號：1003-2851（2012）05-0037-01
培養學生的思維能力，需要我們教師以學生為主體，積極有效地促使學生主動地學習和思考，讓學生在教師的誘導、啟迪下去發現問題、解決問題。怎樣才能啟而得法，誘之有效，就需要我們每一位教師不斷深入探討。本文針對如何實施啟發式教學談談自己的一些做法，旨在與同行一起探索啟發式教學的規律，有效地提高課堂教學質量。
一、激趣啟發
興趣是學習最重要、最直接的內部動力，是發展智力最活躍的因素。學生有了這種內在興趣動機，可以表現高度的學習積極性和自覺性。然而數學的抽象性和嚴密性往往掩蓋了實際的趣味性和實踐性。心理學指出，興趣可由客觀的生活意義和主觀情緒上的引力所致。那么，在教學中常常引入學生熟悉的日常生活中的例子，往往能有效地激發學生學習興趣。在教學實踐中，擺脫純演繹數學的模式，盡可能再現數學發現的基本過程，以及數學與生產、生活的聯系，對擴大學生的知識面，增加趣味性和實踐性，激發學生學習數學、應用數學的興趣，提高應用數學的能力等，都能起到較好的促進作用。為此，本人非常注重利用課本中每章節中的插圖、引序、例題和一些練習，作為啟發的“導火索”。例如在學習方差這一節內容時，提出這么一個問題：有一位射擊教練要從甲、乙兩個射擊運動員中選一個去參加比賽，讓每位運動員各射擊10次，成績分別如下，甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4；乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7。假如你是教練，你選誰去呢？學生紛紛計算平均環數，結果一樣。學生覺得選誰都一樣，教師繼續引導學生，如果選穩定性好一點的運動員呢？學生又紛紛觀察數據，認為乙比較穩定。教師又引導怎樣用一組數字來說明你的觀察呢？學生紛紛提出方法。于是在教師的引導下，學生順利接受和理解了方差的計算公式，課堂氣氛活躍，趣味盎然，學生既掌握了知識，又學會了應用。
二、引疑啟發
數學教學過程是一個不斷設疑、破疑、再疑的過程。從某種意義上說，數學教學設計就是問題的設計。讓學生在課堂中沿著“無疑——有疑——無疑”這樣一條波浪式的路線前進。這起伏的浪花將推動學生積極思考。如在“全等三角形判定”導入課的教學中可創設這樣的問題情境，先用圖片出示一塊三角形玻璃碎成的兩塊。然后問：如果照原樣到店里配一塊，要不要把兩塊玻璃都帶去？如果只能帶一塊，那么應該帶哪一塊呢？為什么？通過學生思考、討論，最后讓他們用紙片演示一下。這樣，知識的掌握以及思維的培養就能達到較好的境地。又如在圓周長公式應用的教學中，通過“一根足夠長的鐵絲緊貼地球形成一個圓圈，如果把這個鐵絲再放長10米，在地球和鐵絲之間形成的縫隙能通過一只老鼠還是一頭牛？”來創設情境，可以由趣生疑，由疑引思。
三、設誤啟發
學生在學習數學知識過程中發生錯誤是很正常的。如不顧條件亂用結論，或丟三落四，或考慮不全面等。教師在教學中可“故設陷阱”，有意讓學生“暴露問題”，或者順其錯誤不斷啟導，使學生恍然大悟，留下深刻印象。例如：在學習整式的加減后，先要求學生用數學文字語言敘述3a－（2a－1）,即3a與2a－1的差，然后教師故意設“錯”問學生，若把這段文字語言翻譯成符號語言3a－2a－1可以嗎？教師的故意設“錯”，學生會真切到感受到問題的矛盾沖突，會整體感知數學語言的思想，通過這類問題情境的創設，能有效糾正學生常犯的頑固性錯誤，對培養學生的批判性思維也大有裨益。
四、類比啟發
很多數學知識在內容和形式上都有相通之處，新舊知識之間既有聯系又有區別，以類比舊知識導入新知識，體現了知識的自然延續和升華，體現了知識的發生與遷移過程。這樣既培養和發展了學生思維的廣闊性，增強他們數學發現能力，同時又鞏固掌握了舊知識。如在講“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一性質時，可與“等腰三角形性質”進行類比。教師先通過復習等腰三角形性質，使學生明白：等腰三角形的底邊上的中線把它分成兩個直角三角形，然后設問，反過來，能或將一個直角三角形分成兩個等腰三角形呢？這時學生會感到好奇，便積極思考，經過教師的合理引導后發現結論。又如講“二次函數性質”時，可與“一次函數性質”進行類比講解。講課時教師先讓學生回憶一次函數的性質與圖像及與坐標軸交點的做法，然后讓學生思考二次函數的性質圖像及與坐標軸交點的求法等。再如解：這個方程，可通過類比，利用合比性質將較復雜的分式方程簡化形式，得：，整理得x(x+2)(x-2)=0所以。經檢驗都是原方程的根。這樣由淺入深，由易到難進行類比啟發，不但能達到復習舊知識的目的，而且能較快地掌握新知識，從中更能培養學生的分析、總結及探究的能力。
