古琴音樂中分形幾何

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內(nèi)容摘要：傳統(tǒng)的音樂研究，特別是民族音樂研究，絕大部分都側(cè)重于音樂的藝術(shù)性角度（音樂的社會屬性），鮮見有從音樂的科學(xué)性角度（音樂的自然屬性）進(jìn)行研究的。但是，近年來隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，這一狀況正在逐步得到改觀。本文使用分形幾何的方法，對古琴音樂作品進(jìn)行了分析研究，證明了古琴音樂的旋律是分形的，并且對古琴音樂作品與西方古典音樂作品的異同進(jìn)行了初步的比較分析，揭示出不同時(shí)空、不同歷史文化背景下音樂的共同特征——分形性。

關(guān)鍵詞：古琴音樂分形幾何音樂研究方法科學(xué)分形音樂

一、引言

在我國傳統(tǒng)音樂中，古琴是最古老的弦樂器之一。《樂記》有“昔者舜作五弦之琴，以歌南風(fēng)”之說。清代著名琴家徐祺在《五知齋琴譜》中寫道：“昔者伏曦之王天下也。仰觀俯察，感榮河出圖，以畫八卦，聽八風(fēng)以制音律，采峰山孤桐，合陰備陽，造為雅樂，名之曰琴。”另外也有人說古琴是神農(nóng)或堯帝等創(chuàng)制的。這些雖出自傳說，無文字記載或?qū)崜?jù)可考，但在安陽殷墟墓葬中出土的文物中有兩件像琴的石器，且甲骨文中把音樂的樂字記為“”，這是以絲弦張附在木器上的象形，由此說明在殷商時(shí)代（即甲骨文產(chǎn)生之際）就已有了琴這一類樂器，大概是可信的[1]。由此亦可推知古琴應(yīng)產(chǎn)生于殷商之際甚或在此之前，即古琴已存在三千多年了。

對于這樣一件產(chǎn)生于史前，而且?guī)缀跬暾蛔兊亓鱾髦两竦臉菲鳎粌H在中國，即便是在全世界范圍也難以再找到第二個(gè)！因此，對古琴尤其是古琴音樂進(jìn)行詳細(xì)的考察與研究，不僅能夠揭示我國古代音樂的發(fā)展變化情況，而且亦可從中透視出我國古代社會政治、經(jīng)濟(jì)和科技的發(fā)展與變化[2][3][4]。

對音樂進(jìn)行研究，當(dāng)今占據(jù)主導(dǎo)地位的有三種方法，即歷史的方法、分析的方法和比較的方法[5]。這三種方法在音樂研究中已經(jīng)取得了輝煌的成就，而且仍還有著非常廣闊的前景。但是，它們各自的研究范圍都比較狹小，或某一作品，或某一人某一派的作品，或某一時(shí)期的作品，或某一地域(或西方或東方或非洲或拉美)的作品，而不能從整體上研究范圍更廣的音樂現(xiàn)象。眾所周知，無論古今，不分地域，任何地方只要有人，就會有音樂，這就說明音樂必定有著某種屬性，它是一種與時(shí)空無關(guān)的非民族性的屬性，即音樂的自然屬性。可這種自然屬性究竟是什么呢？怎樣才能將它表示出來呢？我們認(rèn)為，分形幾何為這一問題的解答提供了一種可能[6][7]。

二、分形幾何與音樂

分形幾何[8]的概念是由曼得勃羅在上世紀(jì)60年代末提出來的。它的主要思想是說，在不規(guī)則現(xiàn)象表面所呈現(xiàn)的雜亂無章的背后仍存在著規(guī)律，這個(gè)規(guī)律就是在放大過程中呈現(xiàn)出的自相似性。

在自然界中，分形現(xiàn)象普遍存在，俯拾即得。如：微觀世界中晶體的生長，相變過程和化學(xué)反應(yīng)等；宇觀世界中太陽黑子的活動和星際空間物質(zhì)的分布等；宏觀世界中河流的走向，樹枝的分叉以及地震震級的分布等；就連我們?nèi)梭w血液循環(huán)系統(tǒng)中血管的分支和腦電波分布都是分形的。也就是說，自然界似乎存在著“分形者生存”這一規(guī)律。

既然我們賴以生存的這個(gè)世界到處都充滿著分形，既然我們的血管分支和腦電波都是分形的，因而想必在我們的潛意識中(或者是本能地)對分形現(xiàn)象定會有著某種默契或產(chǎn)生共鳴，或者說我們?nèi)艘财珢鄯中危沁@種偏愛形成了音樂創(chuàng)作與欣賞在主體心理與對象間的鎖定。沃斯和科拉克[6]等人首先從實(shí)驗(yàn)上證明了這一點(diǎn)，他們發(fā)現(xiàn)優(yōu)美動聽的音樂的音量是分形的，后來許氏父子（許靖華和安得魯·許）[7]又從理論上證明了古典音樂中旋律的進(jìn)行也是分形的。

三、古琴音樂中的分形幾何

為了研究音樂的分形幾何，首先必須把它加以量化，因此撇開音樂的社會學(xué)定義不講，現(xiàn)在我們從數(shù)學(xué)上給它下一個(gè)定義：音樂是具有不同音高（頻率）的音的一種有序排列。既然如此，那么這種有序的數(shù)學(xué)表達(dá)是什么？隨意地敲擊琴鍵不會產(chǎn)生音樂，不同音的有序排列組成了旋律，這種排列是分形的嗎？如果答案是肯定的話，那么在一首音樂作品中兩相鄰音之間的音程i與其出現(xiàn)的幾率F應(yīng)滿足下述關(guān)系：

F=C/iD或logF=C’-Dlogi

即音程i的對數(shù)與其出現(xiàn)幾率F的對數(shù)之間存在線性關(guān)系,也就是說以logF和logi為縱橫坐標(biāo)作圖,則各點(diǎn)均應(yīng)在同一直線上。其中D為該作品的分形維數(shù)(分維)，C為比例系數(shù)，C’=logC。

許氏父子通過分析發(fā)現(xiàn)[8]，對于巴赫和莫扎特等古典音樂大師的作品，上述分形關(guān)系式均可確立，但對于現(xiàn)代無調(diào)性音樂作品，則無此種關(guān)系。為了對我國古代音樂進(jìn)行深入的理解與研究，為了對東西方音樂的異同進(jìn)行比較，下面我們也將使用這一方案對我國古琴音樂進(jìn)行分析。

首先選取《古逸叢書》中管平湖打譜的《幽蘭》[9]進(jìn)行分析。對該曲中音程i及其出現(xiàn)幾率的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

將音程i及其出現(xiàn)概率F分別取對數(shù)對應(yīng)作圖可以看到（圖1A），在區(qū)間2≤i≤11，存在分形關(guān)系：

F=3.80/i3.15