微積分經濟應用

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摘要：微積分作為數學知識的基礎,是學習經濟學的必備知識,著重討論了微積分在經濟學中最基本的一些應用，計算邊際成本、邊際收入、邊際利潤并解釋其經濟意義,尋求最小生產成本或制定獲得最大利潤的一系列策略。

關鍵詞：微積分；邊際分析；彈性；成本；收入；利潤；最大值；最小值

1導數在經濟分析中的應用

1.1邊際分析在經濟分析中的的應用

1.1.1邊際需求與邊際供給

設需求函數Q=f（p）在點p處可導（其中Q為需求量，P為商品價格），則其邊際函數Q’=f’(p)稱為邊際需求函數，簡稱邊際需求。類似地，若供給函數Q=Q(P)可導（其中Q為供給量，P為商品價格），則其邊際函數Q=Q(p)稱為邊際供給函數，簡稱邊際供給。

1.1.2邊際成本函數

總成本函數C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函數=(Q)=C(Q)Q；邊際成本函數C’=C’(Q)．C’(Q0)稱為當產量為Q0時的邊際成本，其經濟意義為：當產量達到Q0時，如果增減一個單位產品，則成本將相應增減C’’(Q0)個單位。

1.1.3邊際收益函數

總收益函數R=R(Q)；平均收益函數=(Q)；邊際收益函數R’=R’(Q)．

R’(Q0)稱為當商品銷售量為Q0時的邊際收益。其經濟意義為：當銷售量達到Q0時，如果增減一個單位產品，則收益將相應地增減R’(Q0)個單位。

1.1.4邊際利潤函數

利潤函數L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利潤函數;=(Q)邊際利潤函數L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)稱為當產量為Q0時的邊際利潤，其經濟意義是：當產量達到Q0時，如果增減一個單位產品，則利潤將相應增減L’(Q0)個單位。

例1某企業每月生產Q（噸）產品的總成本C（千元）是產量Q的函數，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每噸產品銷售價格2萬元，求每月生產10噸、15噸、20噸時的邊際利潤。

解：每月生產Q噸產品的總收入函數為：

R（Q）=20Q

L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）

=-Q2+30Q-20

L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30

則每月生產10噸、15噸、20噸的邊際利潤分別為

L’(10)=-2×10+30=10（千元/噸）；

L’(15)=-2×15+30=0（千元/噸）；

L’(20)=-2×20+30=-10（千元/噸）；

以上結果表明：當月產量為10噸時，再增產1噸，利潤將增加1萬元；當月產量為15噸時，再增產1噸，利潤則不會增加；當月產量為20噸時，再增產1噸，利潤反而減少1萬元。

顯然，企業不能完全靠增加產量來提高利潤，那么保持怎樣的產量才能使企業獲得最大利潤呢？

1.2彈性在經濟分析中的應用

1.2.1彈性函數

設函數y=f(x)在點x處可導，函數的相對改變量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y與自變量的相對改變量Δxx之比，當Δx→0時的極限稱為函數y=f(x)在點x處的相對變化率，或稱為彈性函數。記為EyEx•EyEx=limδx→0

ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)

在點x=x0處，彈性函數值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)稱為f（x）在點x=x0處的彈性值，簡稱彈性。EExf(x0)%表示在點x=x0處，當x產生1%的改變時，f（x）近似地改變EExf(x0)%。

1.2.2需求彈性

經濟學中，把需求量對價格的相對變化率稱為需求彈性。

對于需求函數Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于價格上漲時，商品的需求函數Q=f(p)（或P=P(Q)）為單調減少函數，ΔP與ΔQ異號，所以特殊地定義，需求對價格的彈性函數為η(p)=-f’(p)pf(p)

例2設某商品的需求函數為Q=e-p5，求(1)需求彈性函數；(2)P=3,P=5,P=6時的需求彈性。

解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；

(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2

η(3)=0.6<1，說明當P=3時，價格上漲1%，需求只減少0.6%，需求變動的幅度小于價格變動的幅度。

η(5)=1，說明當P=5時，價格上漲1%，需求也減少1%，價格與需求變動的幅度相同。

η(6)=1.2>1，說明當P=6時，價格上漲1%，需求減少1.2%，需求變動的幅度大于價格變動的幅度。

1.2.3收益彈性

收益R是商品價格P與銷售量Q的乘積，即

R=PQ=Pf(p)

R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)

所以，收益彈性為EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η

這樣，就推導出收益彈性與需求彈性的關系是：在任何價格水平上，收益彈性與需求彈性之和等于1。

（1）若η<1，則EREP>0價格上漲（或下跌）1%，收益增加（或減少）(1-η)%；

（2）若η>1，則EREP<0價格上漲（或下跌）1%，收益減少（或增加）|1-η|%；

（3）若η=1，則EREP=0價格變動1%，收益不變。

1.3最大值與最小值在經濟問題中的應用

最優化問題是經濟管理活動的核心，各種最優化問題也是微積分中最關心的問題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤最大，費用最省等等。下面介紹函數的最值在經濟效益最優化方面的若干應用。

1.3.1最低成本問題

例3設某廠每批生產某種產品x個單位的總成本函數為c(x)=mx3-nx2+px，（常數m>0,n>0,p>0），（1）問每批生產多少單位時，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相應的邊際成本。

解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n

令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生產n2m個單位時，平均成本最小。

（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相應的邊際成本。

1.3.2最大利潤問題

例4設生產某產品的固定成本為60000元，變動成本為每件20元，價格函數p=60-Q1000（Q為銷售量），假設供銷平衡，問產量為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？

解：產品的總成本函數C(Q)=60000+20Q

收益函數R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000

則利潤函數L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000

L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000

∵L’’(Q)=-1500<0∴Q=2000時L最大，L（2000）=340000元

所以生產20000個產品時利潤最大，最大利潤為340000元。

2積分在經濟中的應用

在經濟管理中，由邊際函數求總函數（即原函數），一般采用不定積分來解決，或求一個變上限的定積分；如果求總函數在某個范圍的改變量，則采用定積分來解決。

例5設生產x個產品的邊際成本C=100+2x，其固定成本為C0=1000元，產品單價規定為500元。假設生產出的產品能完全銷售，問生產量為多少時利潤最大？并求出最大利潤。

解:總成本函數為

C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000

總收益函數為R(x)=500x

總利潤L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因為L’’(200)<0。所以，生產量為200單位時，利潤最大。最大利潤為L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。

在這里我們應用了定積分,分析出利潤最大,并不是意味著多增加產量就必定增加利潤,只有合理安排生產量,才能取得總大的利潤。

綜上所述，對企業經營者來說，對其經濟環節進行定量分析是非常必要的。將數學作為分析工具，不但可以給企業經營者提供精確的數值，而且在分析的過程中，還可以給企業經營者提供新的思路和視角，這也是數學應用性的具體體現。因此，作為一個合格的企業經營者，應該掌握相應的數學分析方法，從而為科學的經營決策提供可靠依據。

參考文獻

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