弧度制數學教案

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教學目標：

1．明確引入弧度制的必要性，理解新單位制意義．

2．熟練掌握角度制與弧度制的換算．

教學重點：理解弧度制引入的必要性，掌握定義，能熟練地進行角度制與弧度制的互化．

教學難點：弧度制定義的理解．

教學用具：投影儀．

教學過程

1．設置情境

在角度制下，當把兩個帶著度、分、秒各單位的角相加、相減時，由于運算進率非十進制，總給我們帶來不少困難．那么我們能否重新選擇角單位，使在該單位制下兩角的加、減運算與常規的十進制加減法一樣去做呢？本節課就來嘗試選擇這種新單位．

2．探索研究

（1）復習角度制

我們在平面幾何中研究角的度量，當時是用度做單位來度量角，的角是如何定義的？

規定把周角的作為1度的角．

我們把用度做單位來度量角的制度叫做角度制，在數學和其他許多科學研究中還要經常用到另一種度量角的制度—弧度制，它是如何定義呢？

（2）弧度制定義

我們把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，如圖1，弧的長等于半徑，所對的圓心角就是1弧度的角，弧度制的單位符號是，讀作弧度．

圖1

的弧度數的弧度數

提問：若弧是一個半圓，則其圓心角的弧度數是多少？若弧是一個整圓呢？

因為半圓的弧長，其圓心角的弧度數是，同理，若弧是一個整圓，其圓心角的弧度數是．

在到的角的弧度數必然適合不等式，角的概念推廣后，弧的概念也隨之推廣，任一正角的弧度數都是一個正數．如果圓心角表示一個負角，且它以所對的弧長，則這個圓心角的弧度數是，由此我們給出弧度制的定義：一般地，可以得到：正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0；角的弧度數的絕對值，其中是以角作為圓心角時所對的弧長，是圓的半徑，這種以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制．

提問：為什么可以用弧長與其半徑的比值來度量角的大小呢？即這個比值是否與所取的圓的半徑大小無關呢？

如圖2，設為的角，圓弧和的長分別為和，點和到點的距離（即圓半徑）分別為和，由初中學過的弧長公式可得：，，于是．上式表明，以角為圓心角所對的弧長與其半徑的比值，由的大小來確定，與所取的半徑大小無關，僅與角的大小有關．

因，可以得到，那弧長等于圓弧所對圓心角的弧度數的絕對值與半徑的積，這個公式比采用角度制時相應公式要簡單．

（3）角度制與弧度制的換算

用“弧度”與“度”去度量每一個角時，除了零角以外，所得到的量數都是不同的，但它們既然是度量同一個角的結果，二者就可以相互換算．我們已經知識若弧是一個整圓，它的圓心角是周角，其弧度數是，而在角度制里它是，因此，兩邊除以2．

得等式兩邊同除180

得

同理，把弧度換成角度．

【例1】把化成弧度．

解：∵

∴

【例2】把化成度．

解：

同學們在進行角度制與弧度制互化時要抓住弧度這個關鍵．

下面請大家寫出一些特殊角的弧度數．

角度

弧度

按從左至右順序其答案是：0、、、、、、、、、、．今后我們用弧度制表示角的時候，“弧度”二字或“”通常省略不寫，而只寫相應的弧度數．例如：角就表示是的角，就表示的角的余弦，即．

（4）角度制與弧度制的比較

引進弧度制后，我們應將它與角度制進行比較，同學們應明確：①弧度制是以“弧度”為單位度量角的制度，角度制是以“度”為單位度量角的制度；②1弧度是等于半徑長的圓弧所對的圓心角（或該弧）的大小，而是圓的所對的圓心角（或該弧）的大小；③不論是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與半徑大小無關的定值．

【例3】計算：

（1）；（2）．

解：（1）∵∴

（2）∵

練習（用投影儀）

1．把下列各角化成的形式：

（1）；（2）；

（3）．

2．求右圖3中公路彎道處弧的長（精確到，圖中長度單位：）．

參考答案：

1．（1）

（2）

（3）

2．∵

∴

答：彎道處的長約為．

3．練習反饋

（1）若三角形的三個內角之比是2：3：4，求其三個內角的弧度數．

（2）已知扇形的周長為，面積為，求扇形的中心角的弧度數．

（3）下列終邊相同的是（）．

A．與

B．與

C．與

D．與

參考答案：（1）、、；（2）2（3）B

4．總結提煉

（1）弧度；

（2）“角化弧”時，將乘以；“弧化角”時，將乘以

（3）弧長公式：

扇形面積公式：．（其中為圓心角所對的弧長，為圓心角的弧度數，為圓半徑．）

課時作業

1．角集合與之間的關系為（）

A．B．C．D．不確定

2．若角和的終邊互為反向延長線，則有（）

A．B．

C．D．

3．中心角為的扇形，它的弧長為，則該扇形所在圓的半徑為______________．

4．若，且與的角的終邊垂直，則．

5．已知直徑為的滑輪上有一條長為的弦，是此弦的中點，若滑輪以每秒5弧度的角速度旋轉，則經過5秒鐘后點轉過的弧長等于多少？

6．已知一個扇形周長為，當扇形的中心角為多大時，它有最大面積

參考答案：1．C2．D3．6；4．或；5．；6．中心角時，