高中數學不等式的性質
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高中數學不等式的性質范文第1篇
高中數學不等式的探究往往需要借助嚴密的數學邏輯思維，以分析或證明兩式之間的對比關系，在這一過程中，數學思維的應用，切入角度的準確性，以及嚴密的邏輯證明對于整個不等式的有效分析起著關鍵作用。因此在數學不等式教學及實際應用過程中，高中數學教師首先應當從分析的角度指導學生進行基本的判斷，從數學的思考角度找尋整個不等式的內涵與切入點，進而尋找正確的方式，確保不等式解答的高效率與準確性。因此，數學不等式教學中探究數學思維的有效應用對于整個高中數學不等式教學效果的增強有著重要的現實意義。
1.高中數學不等式教學中的數學思維
高中數學思維包含數形結合、數學模型、函數方程、遞推、化歸等，其對于數學知識的理解及數學習題的解答有著顯著的促進作用，因此在數學教學過程中運用好數學思維對于數學教學水平的提升有著顯著的促進作用。而在不等式的教學過程中，數形結合、函數方程、分類討論等思維又起著關鍵的影響作用。因此教師在高中不等式教學過程中一定要結合實際的知識點或者是相關的習題案例有效地融合入各類數學思維，進而指導學生在不等式學習過程中深入地理解各個知識點，并以數學思維進行習題的分析，以在數學知識應用之前幫助學生尋找正確的思考方向、確定最佳的解題方式。在這種環境下，數學思維與高中不等式的教學緊密結合，學生對于不等式的學習效率得到提高，數學思維在高中數學不等式教學中的重要性得到體現。
2.數學思維在高中數學不等式教學中的有效應用
根據文章之前的分析，在高中數學不等式教學過程中，數形結合、函數方程及分類討論等思維對于不等式的教學有著顯著的促進作用，因此本節及實際數學思維與不等式教學結合的探究分析數學思維在高中數學不等式教學中的重要性，進而為現階段高中數學不等式教學中有效應用數學思維提供借鑒。
2.1數形結合數學思維對不等式標根法的重要指導
數學中數與形往往是相互聯系的，這種聯系被稱為數形結合，其作為一種數學思維或者數學指導思想往往對數學中某些概念的精確化或者是明確某些數學變量之間的關系起到了很好的指導作用。在高中數學不等式教學中，標根法的解題方法往往需要數形結合的形式進行有效指導，標根法往往將不等式的解題分成三個步驟，即將不等式分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數為正；將每一個一次因式的根標在數軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線，并注意奇穿過偶彈回；最后再根據曲線顯示出來的符號變化規律，寫出不等式的解集。通過這種數學思維的指導，學生在學習不等式區間解答的過程中能夠有效掌握基本的思考方法，并得出正確的答案。
以x■+3x-4≥0這一不等式為例，首先整個不等式可以分解成為（x-1）（x+2）■≥0，然后根據這一分解式將根x=1和x=-2（重根）標注在函數圖形上，這樣整個不等式的解的區域就能夠明顯地被表示出來，為{x|x≥1或x=-2}。
2.2函數方程思維與不等式恒成立證明的相關關系探究
函數方程思維往往是借助函數的主要性質或者是函數的定義對相關的數學問題進行分析和解答，而在高中數學不等式求解或者證明的過程中，數學教師同樣可以借助數學的函數思維進行不等式教學，并指導學生對相關問題進行深入解答。在這種情況下，數學教師一方面是要讓學生分清此類數學思維與不等式結合的主要類型，另一方面是指導學生找到不等式解答的主要突破口，進而讓學生在分析階段找到有效運用解不等式的方法，在解題及知識點理解的過程中保障自身探究方向的準確性。
不等式恒成立問題常常應用函數方程思想，進而以求最值或者極值的方式確定相關參數的區間，以證明不等式的恒成立或者習題條件的完整化。雖然恒成立問題分析過程中，數形結合的思想也對其起著有效的指導作用，但函數方程思維在運算方面及避開作圖難點方面有著顯著的優勢。例如對于不等式x■-2mx+2m+1>0，教師就可以指導學生將函數化解成為（x-m）■-m■+2m+1>0，進而將整個不等式右邊化成開口向上，對稱軸為x=m的拋物線函數，在函數方程思維的指導下，學生可以免去畫圖的工作，直接根據函數的單調性及最值的性質判斷m的范圍，最終求出m>-1/2。
2.3分類討論對含絕對值不等式解題的重要影響
分類討論的思想對于高中數學綜合知識的探究有著顯著的指導作用，而數學不等式知識的教學中，含有絕對值的不等式同樣可以和分類討論的數學思維進行密切的聯系。如“分段討論法”，通過各個集合上的討論求出各種情況下不等式的答案，最后取解的并集，在這種方法下，不等式所包含的絕對值可以被準確地去除，整個習題的解答也會被簡化。學生對于這一類知識的理解及應用有了更好的切入角度，教學效果也更好地得以體現。
結語
以上在討論了數學思維與高中數學不等式教學結合有效性的前提下，列舉了高中數學不等式教學過程中具有重要影響的幾類數學思維的實際應用。現階段的不等式教學過程中，教師要根據不等式教學中的主要知識點及習題類型有效運用數學思維的指導作用，以數形結合數學思維強化不等式標根法的有效分析，以函數方程思維探究函數恒成立證明或解答的準確方向，以分類討論的思維指導學生對含絕對值的不等式進行簡化分析，進而借助數學思維的有效指導不斷提高學生對于不等式的理解程度，優化其對于習題的分析思路與解題方法，保障學生知識儲備的拓展及考試競爭力的增強，最終突顯數學思維在高中數學不等式教學中的重要性。
參考文獻：
高中數學不等式的性質范文第2篇
一、銜接初中不等式知識
高中不等式的教學要設置初高中數學課程的銜接，針對初中課程未涉及，課堂沒有學到但高中要運用的內容進行補充和講解，比如，一元二次不等式的解法教學。在高中數學課程安排上不局限于必修與選修的安排，有必要把解一元二次的不等式的教學從高中數學的必修五整合到必修一的教學后面，分離學習基本不等式和解不等式，讓學生提早地接觸不等式的教學，這樣既避免了必修一中復雜的、技巧性很強的不等式有關證明，還能夠保證學生后面學習函數模塊如何處理不等式的定義域、值域等問題。
下面的案例是放在高一函數不等式解法的教學中，主要服務于高中函數教學中用到的解不等式內容。例如，在進行一元二次不等式解法的講解中，教師首先要結合坐標軸和函數形式，給出一元二次方程、一元二次不等式、二次函數之間的關系，隨后，給出一元二次不等式的解答步驟，先把二次項系數化成正數，再解一元二次方程，根據一元二次方程的根，結合不等式符號的方向，寫出不等式的解集。以解不等式-3x2+6x>2為例，首先，通過觀察-3x2+6x>2不等式的形式，發現二次項系數為負數，故將其變形為二次項系數大于零的情形：3x2-6x+20，3>0，由此解得兩根是x1=3-33，x2=3+33，所以解得原不等式的解集是{x|3-33
二、注重課堂教學氛圍
筆者在實際教學中發現，很多學校由于教學時間緊張，明知不等式的教學內容非常重要，卻壓縮教學課時，把不等式的教學內容簡略地安插在函數教學中，簡單講解函數中遇到的不等式問題，使得教學效果大打折扣。從高中數學教師的視角來看現行不等式教學，首先，我們會發現不等式的課程內容比較單一，脫離實際生活，案例缺乏創新，忽視學生數學學習的培養，導致學生學習興趣下降，失去學習動力。其次，在學習過程中缺乏自主性學習，學生被動學習且方法停留在死記硬背層面，并沒有真正地做到全面考查和培養學生的目的。最后，通過多家學校不等式授課評比，我們會發現，平時的不等式課程內容繁雜且偏，學生不易理解，教師一般在教學過程中結合高考歷年考題進行總結講解，注重提分點的講解，一旦高考不等式出題方式稍有改變，學生很難做出應答。例如，解不等式x2+（a2+a）x+a3>0，對于這種含參數的不等式，學生一般可以將其等價化成不等式（x+a）（x+a2）>0。由于該不等式含有參數a，與平時的一般不等式有所區別，所以要進行分類討論。為了發揮學生學習主動性，開拓解題思維，將學生分組，進行討論解答。當-a>-a2時，當a=0時，當0
三、觀察推理論證過程
思維能力是數學學科能力的核心。因此，高中數學滲透的數學思想和養成數學思維方式能夠為以后的數學研究和邏輯思維問題提供很好的思路和捷徑，教師在傳授高中數學知識的同時更應該重視數學思想的滲透。把不等式中數學思想作為載體，對問題進行仔細觀察、比較、分析和抽象概括，學會巧妙運用類比、歸納和演繹這些方法進行推理，能夠運用準確的專業數學用語進行表述。在實際教學中，由于大多數的數學教師只注重課程內容的講述，并未做到數學思想的深入講解，使得學生缺乏培養解決問題的思路，追求死記硬背，很難在數學方面得到提高。因此，在不等式的教學中，教師要順應新課程改革的潮流，結合新課程改革的基本理念，在教學中要轉變教學觀念，同時，在不等式的教學中要重視數學思想的滲透與培養，開展探究性學習，提高創新意識，尤其要重視不等式與各個學科的聯系，加強不等式的應用。結合不等式的教學目標，巧用活用各種數學思想，通過觀察推理論證過程，培養學生的抽象思維能力，將難度問題盡量突破。例如，解答關于x的不等式：x2+（m-m2）x-m3>0，因楦錳饉研究的整體對象不適合用同一方法進行處理，這就需要化整為零，把參數m分為m>0或m
高中數學不等式的性質范文第3篇
不等式證明是高中數學的重點
在高中數學的學習過程中，不等式證明是一個非常重要的內容。作為高中數學的一個難點，不等式的證明不僅題型多變，而且無固定的規律可循，需要依據題目和特征不等式的結構特點，采用多種方法綜合運用。因此，引導學生熟練掌握幾種不等式證明的主要方法，并靈活運用，對不等式證明的學習有著非常重要的意義。
常用證法及舉例
比較法 比較法是不等式證明最基本的證明方法之一。比較法，有作差法和作商法兩種。
例1.若a、b均為正數，試證明
證明：，式①；
同理，式②；
，式③。
①+②+③得，原題得證。
例2.設a>b且均為正數，試證明： 。
證明 a>b>0，則有，a-b>0。
，即。
評析：在比較兩個不等式a和b的大小時，可借助a-b或的大小來判斷。步驟一般為：作差（商）――變形――判斷。需要提醒的是在使用作商法時，要注意分母的正、負號，防止弄錯不等式的方向。
綜合法 綜合法是運用已知的定義、定理和基本不等式的性質，從已知條件推出所要證明的結論的方法。
例3.a，b，c∈R+，abc=1，且互不相容，求證：
證明：
所以
評析：綜合法是由題設條件出發，由因導果，講究對不等式基本性質和重要不等式及其變形的熟練使用。
反證法 但復雜的不等式或特殊不等式，直接證明無法得證時，可以采用反證法進行間接證明。其思路是“假設――矛盾――肯定”，從與結論相反的假設出發，推出矛盾的過程。
例4.若p>0，q>0，p3+q3=2，求證：p+q≤2.
證明：假設p+q>2，則（p+q）3=p3+q3+3pq（p+q）>8，
由p3+q3=2，得pq（p+q）>2=p3+q3=（p+q）（p2-pq+q2）。
p>0，q>0，p+q>0，不等式兩邊同時約去（p+q），
得pq>p2-pq+q2，即（p-q）2
例5.已知a>b，a，b∈R+，n∈Z且有n>1，求證：。
證明：假設，與題意矛盾，則有。
評析：反證法的思路是“執果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。每一步推理都是為了尋求上一步成立的充分條件。
換元法 對一些結構比較復雜，變量較多的不等式證明，引入一個或多個變量進行代換，以簡化原有的結構，實現某種轉化。
例6.已知x，y∈R且x2+y2≤1.求證│x2+2xy-y2│≤.
證明：設
則
評析：在不等式證明過程中，通過變量代換，選擇適當的變量未知數巧妙代替，可以有效簡化證明過程。其中的三角代換法和增量換元法，前者將代數問題轉化為三角問題。如x2+y2=1，設；再如，對不等式│x│≤1，設。后者在對稱式和給定字母順序的不等式，通過換元達到減元，化繁為簡。
結束語
不等式的證法靈活多變，因題而異。但萬變不離其宗，大都需從應用定義及基本性質入手，尋求解決之道。在日常教學中，高中數學教師還是要通過大量的練習，幫助學生掌握常見的方法的運用。希望本文在這方面能起到拋磚引玉的作用。
參考文獻
[1]匡繼昌.常用不等式[M].濟南：山東科技出版社，2004
高中數學不等式的性質范文第4篇
【關鍵詞】高中數學 不等式 有效教學
【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A
【文章編號】0450-9889（2016）06B-0077-02
不等式是高中數學學習中必不可少的內容之一，需要學生掌握一定的解題思路，掌握不等式的相關性質。不等式向來是學生數學學習的重點，也是難點。學生能否學好此部分，關鍵在于能否深入透徹地理解不等式特征。這需要學生具備靈活的思維方法，同時還要掌握解題技巧。高中數學不等式教學也是對教師的考驗，教師必須善于把握不等式知識的靈魂，傳授給學生科學的解題方法，才能讓學生高效、輕松地學好。
一、簡單回顧，打好基礎
高中數學不等式知識項目相對復雜，不等式的性質相對較多，要想能夠順利解題，必須擁有堅實的基礎知識。實際的教學課堂中，教師的首要任務就是引導學生回顧基礎知識，使學生具備基本的知識基礎。具體需要回顧的知識項目包括：不等式的定義、性質、特征等。教師先讓學生迅速回憶，然后叫學生回答相關問題。當學生對其中某一知識點的認識相對模糊時，教師要迅速補充或者找其他學生補充，向學生呈現一個完整、準確又科學的不等式基礎知識框架。
例如，不等式的基本性質：
如果a>b，那么a±c>b±c。
如果a>b，c>0，那么ac>bc。
如果 a>b，c
不等式的傳遞性：如果a>b，b>c，那么a>c。
教師為了讓學生準確、完整地呈現出不等式的諸多性質，就得讓學生在腦海中回憶并初步形成印象，然后在此基礎上，加深對這些基本性質的理解。為此，教師可以設置幾道問題，要求學生判斷命題的真假，并說出原因。如：
（1）如果 a>b，c>d，那么 ac2>bd2。（假）
（2）如果a
（3）如果a2>b2，那么a>b。（假）
學生根據之前回顧的不等式的相關性質，迅速地進入思維狀態，從而飛快地判斷出各個命題的真假。這樣學生的思維就得到了鍛煉，也對不等式的性質有了更為深入的理解和認識。
二、生活引導，趣味教學
不等式作為一項數學知識，事實上同人們的現實生活、工作等密切相關。教師要善于將看似抽象的數學知識同簡單的現實生活聯系起來，以此來激發學生的學習熱情和信心。利用生活情境創設問題，引導學生利用所學的不等式性質、知識等去解決現實生活中的問題，這樣才能讓學生感受到學習不等式知識的實際意義，從而更加努力地投入精力去鉆研、探究與學習。
比如，在正式進入不等式知識項目學習前，教師可以舉出一個和學生生活密切相關的例子。
如，某市出租車的計價標準為1.2元每千米，起步價為10元，最初的4千米計費10元。如果小明身上只有23元錢，而小明要去17千米的地方，那么小明至少得步行多遠呢？
學生聽到這一案例后，立刻進入了生活化情境中，將自己帶到了乘坐出租車的真實體驗中，從而進入思考狀態，帶著興趣和熱情來分析問題。
通過分析已知條件，結合題目中的未知變量，經過思考、分析，列出了一個不等式，建立起了已知條件與未知變量間的關系，并利用不等式的相關性質來解不等式。這樣就達到訓練學生思維的目的。
三、思維訓練，科學引導
數學科學學習的重點之一是培養學生的數學思維能力，讓學生掌握一定的思維技巧，能夠靈活地去思考問題、解答問題。不等式同其他知識模塊間有著密切關系，特別是同函數、方程以及解析幾何等之間都存在一定聯系，教師應該積極利用這些知識點之間的聯系，來培養學生數學思維能力，使學生能夠靈活運用不等式知識解題，做到舉一反三。
例如，已知x，y都是非負實數，且滿足2x+y-4≤0，x+y-3≤0。（1）求解不等式，并在平面坐標系中畫出其范圍；（2）求z=x+3y的最大值。
這看似簡單的題目，事實上涉及到多個知識點。它巧妙地將不等式的性質同平面直角坐標系、函數、方程等聯系起來。要想解答此題目，要求學生既要掌握不等式的相關知識，又要掌握函數的相關性質。
學生接到這一題目后，要先鼓勵學生自行解答，讓他們用自己的解題思路進行思考。在此基礎上教師再向學生一一呈現該題目的解題思路，讓學生抓住解題脈絡，從而培養學生的數學思維能力。
步驟一：根據所給的已知條件，解不等式組，得出不等式的解集。
步驟二：根據不等式的解集，在坐標系中畫出范圍。
步驟三：利用x，y在坐標系中的關系，分析z=3x+y的值，找出最大值。
學生經過以上解題步驟的訓練，會形成一個思維過程，把數形結合起來，綜合運用數學知識。這是對學生進行數學思維訓練的一個好題，在解題過程中加深了學生對不等式知識的理解，學會把不等式同其他知識點之間聯系起來，從而更加深入地學得知識。
四、理清思路，高效解答
對于高中學生來說，要解不等式，最關鍵的是要掌握正確的解題思路，因此，教師要對相關的解題思路加以歸類，如，集合解題思路、數形結合思路、函數思想等，培養學生正確利用這些思路來解答問題的能力，從而讓不等式問題變得簡單易解答，讓復雜的問題簡單化，提高學生的解題效率。
在實際的解題過程中，其中最為常用的方法為分類討論法，它通過分類討論來明確不同量、不同對象的所屬范圍，再根據要求確定分類標準，以此為基礎進行分類探討，防止出現漏項、重復選擇等問題。
例如，關于x的不等式 |x-2|+|x-3|
對于此類題型，教師要引導學生利用分類探討法進行解答。根據題目中所給的已知條件，把|x-2|和|x-3|形成三大分類區間。具體的思路與解題步驟如下：
思路一：如果x1；
思路二：如果2≤x
思路三：如果x≥3，x-2+x-3=2x-5>1。
經過以上思路，逐步思考可以得出 |x-2|+|x-3|≥1，又因為題目中的已知條件：不等式的解集并非空集，因此，得出a的取值范圍為 a≥1。
經以上逐步的討論分析，能夠最終得出問題的答案，求得a的取值范圍。這種逐步解答、逐步分析的方法訓練了學生的分類討論思維，也為學生的高效學習創造條件，培養了學生的數學思維能力。
五、合作交流，比拼學習
數學學習需要較強的邏輯思維能力，然而，學生的邏輯思維能力并非天生就很強。這樣教師可以本著合作交流的原則，鼓勵學生之間相互啟發、彼此幫助，為學生創造一個合作學習的氛圍，也就是說，采用合作分組的教學方法，引導學生通過相互幫助、相互帶動的方式去學習、交流。這樣不僅能增進學生之間的交流，而且也能增強學生的數學學習興趣。
教師可以先將學生分組，每組讓一名數學基礎較好、邏輯思維能力較強的學生負責對整個小組的領導，以推動學生之間的交流，同時，也要注意任務的分配與布置。為了能夠調動整個小組學生學習的積極性，教師也可以采用小組成員間比拼競爭的教學模式，也就是說，通過向各個小組學生提供一系列的不等式問題，鼓勵小組學生來互相競爭，解答問題，比拼誰的解題速度最快、最準確，通過這種方式來培養學生的學習積極性。
此外，教師還可以組織學生進行合作討論探究，對相對復雜、解題步驟較多的不等式問題，教師可以讓學生在小組內部進行討論，集中探討問題的解答方法，通過集思廣益的方式促進問題的解答。學生通過他人的意見，也能有所收獲，思路會得到進一步拓展。合作交流的學習方式能夠增進學生高效學習。
作為高中數學學習中必不可少的內容之一，不等式的教學需要學生掌握一定的解題思路，掌握不等式的相關性質。不等式向來是學生數學學習的重點和難點，學生能否學好，關鍵在于能否深入透徹地理解不等式特征。這需要學生具備靈活的思維方法，掌握解題技巧。教師也要善于開創多種教學方法，為學生創造多元化的學習條件，使學生能夠帶著興趣積極學習、主動探究，取得更好的學習效果。
【參考文獻】
高中數學不等式的性質范文第5篇
關鍵詞：數學銜接；原因；內容；措施
許多剛進入高中的學生在數學學習上遇到了很大的困難，出現這種現象的原因有多種，教師在教學過程中沒有很好地解決初高中數學教學的銜接是很重要的因素。討論和研究初高中的銜接問題，指導和引領學生適應數學學習的變化，對高中數學的學習十分重要。下面主要從三個方面來探討初高中數學教學的銜接問題。
一、為什么要討論銜接問題
首先，課改以來的教材變化和課程標準的變化使初高中數學知識在具體內容上出現了較大的跨度。初中數學教學內容有較大程度的壓縮，而高中數學在教材內容上有所增加，而且有些內容沒有銜接，使得學生從初中到高中要跨越很高的臺階，增加了學習的難度。
其次，初高中數學對數學思想方法的教學和要求也有很大的不同。初中涉及的思想方法較少而且要求不高，甚至沒有明確地提出思想方法的概念，而高中涉及較多的思想方法，而且要求學生熟練地運用這些思想方法來解決問題。這也對學生提出了更高的要求，使許多學生不能很快適應。
二、哪些具體內容需要銜接
1.初中刪去的，高中經常要運用的內容
（1）立方和與立方差公式在初中課程中已刪去，而在高中課程的運算中經常用到。
（2）因式分解在初中課程中一般僅限于二次項系數為“1”的分解，對系數不為“1”的涉及不多；初中課程對高次多項式因式分解幾乎不做要求，但高中課程中的許多化簡求值都要用到這些因式分解。
（3）二次根式部分對分母有理化在初中課程中不做要求，而分子、分母有理化是高中課程中函數、不等式部分常用的運算技巧。
（4）幾何部分很多概念（如重心、外心、內心等）和定理（如，平行線分線段比例定理、角平分線性質定理等）初中課程中大都已經刪去，而高中課程中要經常涉及這些內容。
2.初中要求低，而高中需要熟練運用的內容
（1）初中課程對二次函數的要求較低，但二次函數卻是高中課程中貫穿始終的重要的基礎內容，而且對二次函數的圖象和性質要進行深入的研究。
（2）二次函數、一元二次不等式與一元二次方程的聯系，根與系數的關系（韋達定理）在初中不做要求，而在高中二次函數、二次不等式與二次方程相互轉化被視為重要內容，高中教材卻未安排專門的講授。
（3）含有參數的函數、方程、不等式，初中不做要求，只作定量研究，而高中課程中這些內容是必須掌握的重點內容。
3.數學思想方法的銜接
（1）初中對分類討論思想、數形結合思想只是有一些滲透，而高中就要求學生理解并在解題中應用。
（2）配方法、待定系數法、分離常數法、十字相乘法等運算方法和變形技巧，初中做要求，而高中數學中卻要求學生熟練掌握。
三、怎樣做好銜接工作
1.教學內容的銜接
在高中階段剛開始的數學教學中，適當放慢教學進度、降低課程難度。新授課的導入，盡量由初中的角度切入，注意新舊對比、前后聯系，把高中教材研究的問題與初中教材研究的問題在文字表述、研究方法、思維特點等方面進行對比，使學生明確新舊知識之間的聯系與差異，從而順利地過渡到新知識的學習中。
2.數學思想方法的銜接
初中生的思維主要停留在形象思維或者是較低級的經驗型抽象思維階段；高中階段學生的思維屬于理論型抽象思維，是思維活動的成熟時期。初高中的數學銜接主要是做好數學思維能力的培養，因此，必須在教學中加強對學生思維能力的訓練，積極鼓勵學生展開思維活動，努力克服初中學習過程中的思維惰性，將數學的思想方法和新的知識體系聯系起來，實現數學思想方法的理解、深化和運用。
總之，在高中數學的起步教學階段，分析學生數學學習困難的原因，抓好初高中數學銜接的教學工作，在教學中適時補充拓寬初中數學知識，加強知識、方法、思維的培養和訓練，讓學生積極參與教學的全過程，幫助學生改進學習方法，盡快適應新的學習模式，更快地投入高中階段的學習。
參考文獻：
