高中數學證明方法

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高中數學證明方法范文第1篇

關鍵詞：不等式；導數；定積分；證明

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）17-0110-02

不等式證明是高等數學中常見的題型，證明方法靈活多樣，具有較強的技巧性和綜合性。同時由于知識結構不同，高等數學中不等式證明方法和高中時應用的證明方法也有所不同。下面我們介紹高等數學中常用的幾種不等式證明方法，以幫助剛踏入大學的同學轉變證明思路，快速掌握高等數學中的不等式證明方法。

一、利用導數知識證明不等式

（一）利用函數單調性

此方法關鍵是根據題設條件構造合理的輔助函數，將不等式證明轉化為比較兩個函數值的大小。

例1？搖 證明不等式ex>1+x，x≠0

證明：設f（x）=ex-1-x，則f'（x）=ex-1.故當x>0時，f'（x）>0，f（x）嚴格遞增；當x

（二）利用函數的極值和最值

當給定的不等式是具體的函數，且又給出自變量的變化范圍，欲證明它大于或是小于某個定數，這時往往利用函數的極值和最值來證明不等式。

例2 當x≥0時，證明nxn-1-（n-1）xn-1≤0（n>0，n∈N）.

證明：令f（x）=nxn-1-（n-1）xn-1，則f'（x）=n（n-1）xn-2-n（n-1）xn-1=n（n-1）xn-2（1-x）.令f'（x）=0，得駐點x=1（因為x=0 是x≥0的端點，所以x=0不是駐點）且當x

（三）利用函數的凹凸性

當所求證的不等式中出現了形如f■，■的式子時，我們可以考慮根據函數凹凸性的一些性質來證明。

例3 己知：α

證明：設函數f（x）=x3，x∈（0，+∞），則f'（x）=3x2。f''（x）=6x>0.由引理可知：函數f（x）=x3，x∈（0，+∞）是凹函數。設a1=a2=■，x1=α，x2=β，則f（a1x1+a2x2）=f（■α+■β）=f■≤a1f（x1）+a2f（x2）=■，而f■=■■，且由已知得到■=■≤1，所以■=f■≤■≤1.故有α+β≤2.

（四）利用微分中值定理

微分中值定理將函數與導數有機地聯系起來，如果所求證不等式經過簡單變形后，與微分中值公式的結構有相似性，就可以考慮利用微分中值定理來證明，其關鍵是構造一個輔助函數，然后通過微分中值定理的公式證明。

微分中值定理包括費馬引理，羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理等。其中比較重要的是羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

例4 證明：對一切h>-1，h≠0成立不等式■

證明：設f（x）=ln（1+x），則由微分中值定理得到ln（1+h）=ln（1+h）-ln1=■，0

當h>0時，由0

（五）利用泰勒公式

當所涉及命題中出現二階或更高階導數時，我們可以考慮使用泰勒公式證明，其關鍵是選擇恰當的特殊點展開。

例5 設f（x）在[0，1]上的二階導數連續，f（0）=f（1）=0，并且當x∈（0，1）時，f''（x）≤A.求證：f''（x）≤■，x∈（0，1）.

證明：因為f（x）在[0，1]上有二階連續導數，所以f（x） 可以展開為一階泰勒公式f（x）=f（x0）+f'（x0）（x-x0）+f''（ξ）■，其中ξ在x與x0之間.

取x=0，x0=x，則泰勒公式為：，f（0）=f（x）+f'（x）（0-x）+f''（ξ）■，其中0

因為f（1）=f（0）=0，上面兩式相減得f'（x）=f（1）-f（0）+■f''（ξ1）x2-f''（ξ2）（1-x）2，又f（x）≤A，x∈（0，1），所以f'（x）≤■[x2+（1-x）2]=■（2x2-2x+1），而0≤x≤1，（2x2-2x+1）≤1，故f''（x）≤■.

二、定積分不等式的證明方法

（一）利用定積分的性質

性質：設函數f（x）和g（x）在區間[a，b]可積，且f（x）≤g（x），則■f（x）dx≤■g（x）dx.

例6 設f（x）在區間[0，1]上連續且單調減少，試證：對任何a∈（0，1），有■f（x）dx≥a■f（x）dx.

證明：構造變上限的積分函數，令F（t）=■f（x）dx-t■f（x）dx，t∈（0，1），則有F（0）=0，且由上式可以看出t≥x≥0，所以f（t）≤f（x），故有定積分的性質得到F'（t）=f（t）-■f（x）dx=■f（t）dx-■f（x）dx=■[f（t）-f（x）]dx≤0.

因此由拉格朗日中值定理得到F（a）-F（0）=F'（ξ）a≤0，ξ∈（0，a），即F（a）≤0，原式得證。

（二）利用積分中值定理

積分中值定理：設函數f（x）在[a，b]連續，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得■f（x）dx=f（ξ）（b-a）。

例7 設f（x）≥0在[0，1]上連續，且單調下降，0

高中數學證明方法范文第2篇

關鍵詞：高中數學；不等式；解題思路

不等式是高中數學教學中的重要內容，同時也是高考中的重點和難點。因此，高中數學教師在進行不等式的教學中應當在對重要不等式進行概念講解的基礎上同時注重不等式解題思路的有效分析。

一、高中數學教學中重要不等式的簡析

不等式作為高中數學教學中的重點，數學教師在進行教學時應當注重對不等式的知識點進行合理的講解與闡述。高中數學中重要的不等式主要有均值不等式、柯西不等式、三角不等式等。以下從幾個方面出發，對高中數學教學中重要不等式進行簡析。

1.均值不等式

均值不等式一直是不等式中的重要考點，其中有調和平均數與幾何平均數、算數平均數、平方平均數的大小關系歷來是常考的內容，其中調和平均數Hn=n/（1/a1+1/a2+...+1/an）≤幾何平均數Gn=（a1a2…an）（1/n）≤算術平均數An=（a1+a2+…+an）/n≤平方平均數Qn=，即調和平均數小于等于幾何平均數、算數平均數、平方平均數（Hn≤Gn≤An≤Qn）

2.柯西不等式

柯西不等式是不等式中的重要內容，在高考中柯西不等式二維形式的證明是重要考點，柯西不等式二維形式的證明為（a2+b2）（c2+d2）（a，b，c，d∈R）=a2?c2+b2?d2+a2?d2+b2?c2=a2?c2+2abcd+b2?d2+a2?d2-2abcd+b2?c2=（ac+bd）2+（ad-bc）2≥（ac+bd）2，既等號在且僅在ad-bc=0即ad=bc時成立。

3.三角不等式

在三角不等式中，和差化積是學生比較難以掌握的點，和差化積的主要內容有

sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]?cos[（α-β）/2]

sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]?sin[（α-β）/2]

cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]?cos[（α-β）/2]

cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]?sin[（α-β）/2]

這四個公式也是不等式解題思路中常用的工具。

二、高中數學教學中重要不等式的解題思路

在不等式的教學過程中高中數學教師應當注重解題思路的有效應用，通過授之以漁的方法促進學生對不等式這一重要的數學內容進行有效的學習。高中數學教學中比較重要的不等式解題思路主要有比較法、分析法、綜合法、放縮法等。以下從幾個方面出發，對高中數學教學中重要不等式解題思路進行分析。

1.比較法

不等式中比較法的解題思路通常是通過對實數n和b進行比較，并通過變形、作差、通分、配方等一系列方法對不等式進行比較與判斷。在這一過程中高中數學教師應當注重因式分解、和差化積等方面的有效應用，從而使學生對不等式比較法的解題思路有著更清晰的認識。

2.分析法

不等式法中分析法的解題思路大多從需要證明的結論出發并進行反向推導，在這一過程同通過對題目中提供的公式與數字進行分析最后得出已知條件。在進行分析法解題思路的講解過程中高中數學教師應當注意分析法中所有推導過程都必須是可逆的。

3.綜合法

高中數學教師在進行綜合法的解題思路講解時應當注重對不同的定理與公式進行綜合性應用并結合題目中提供的已知條件與數字一步一步進行綜合性的分析，從而得到最終要證明的結論。

4.放縮法

放縮法是高中數學中不等式的重要解題思路。放縮法主要應用在不等式的證明中，在這一過程中根據不等式的傳遞性，數學教師在進行公式變形時可以將一些式子與數字進行放大與縮小，從而達到有效證明的效果。在這一過程中高中數學教師應當注重教授學生放縮的尺度，促進學生放縮法解題思路應用水平的有效提升。

隨著我國數學教學水平的不斷進步，在高中數學教學過程中對不同的解題思路進行探索成為數學教學中的重要任務。不等式作為高中數學教學中的重點與難點，高中數學教師在進行這一部分知識的教學時應當注重對不同不等式的基礎知識進行清晰的講解。在使學生掌握了扎實的基礎知識后通過對不同解題思路進行分析從而使學生能夠更好地掌握這一高中數學中的重點內容。

參考文獻：

[1]黃海燕.基于數學不等式解題思路的探討[J].理科考試研究，2012，5（11）：52-55.

高中數學證明方法范文第3篇

關鍵詞：高中數學；類比思想；學生學習

類比是指比較兩個研究對象在形式、屬性、特征和關系等方面的類似之處，從而推斷兩者在其他方面類似的推理方法，有利于發現兩個研究對象之間存在的規律. 在高中數學教學中，數學教師有意識地培養學生的類比思想，不但可以幫助學生對數學知識溫故知新，讓學生發現數學新舊知識間的聯系，而且可以將復雜抽象的數學知識簡單形象化，易于學生理解與掌握，筆者從事高中數學教學多年來，不斷進行數學思想方法在高中數學教學中實效性的探索與研究，在本文中以案例分析的形式說明類比思想運用于高中數學教學之中的優越性，希望能給讀者帶來一定的幫助和參考.

[?] 合理運用類比思想服務于教學之中，由淺入深幫助學生構建數學新知

在高中數學教學內容中，很多數學概念的知識點間相似之處較多，而在學習新概念的時候，數學教師需要將其與學生已掌握的概念進行類比，從而幫助學生較好地理解與掌握新概念. 例如在講解“點、線、面間的位置關系”時，高中數學教師可以利用類比思想培養學生的空間想象能力. 如平行線的傳遞性在平面和空間都成立，而平面條件下成立的命題“如果直線ab，bc，則a∥c”，拓展至空間時則不成立，而這樣對數學概念進行有效類比更有利于學生學習數學新概念，對數學概念的認識更為準確.又如高中數學教師在講解函數性質時，可以指導學生利用函數圖象與實例，讓學生以函數角度去類比處理不等式、方程和數列等問題，這樣既可以幫助學生熟練應用類比思想，又可以幫助學生構建完整的知識體系. 再如高中數學教師在講解復數運算時，可以將復數運算與實數運算相類比，而解題中常用的數形結合、換元法等解題方法與思路，也在某種程度上是類比思想的體現.同樣，在講解數學定理時，如果教師只是要求去學生死記硬背，不注重對定理發現過程的理解，那么學生很容易忘記，無法做到理解運用. 雖然立體幾何中的某些定理已經過證明，學生只需要了解運用即可，但是如果教師有意識地利用類比思想對定理證明的過程進行適當講解，就可以拓寬學生的思維，提高學生發現問題、提出問題和解決問題能力，強化學生利用類比思想分析和解題的意識，幫助學生加深對數學新知識的理解、掌握和靈活運用.

高中數學證明方法范文第4篇

關鍵詞：新課程 教學改革 創新

從總體上說，當今的中學課堂教學，仍然是灌輸式教學占絕對優勢。很顯然，有些教學改革就其內在動機而言，主要還是面向各種考試，特別是應付高考的。隨著國家新課程標準的全面實施，尤其是隨著普通高中課程標準實驗教材的面世和進人實驗區，高中教學無論是在理念層面還是在操作層面，都將面臨許多新的挑戰。因此，高中教學如何才能適應新課程改革所提出的各項要求，就成了人們關注的焦點。下面就當今高中數學教學中存在的問題及對策談談自己淺顯的認識。

1．高中數學教學中存在的問題。數學是一切科學和技術的基礎，因而數學的重要作用和地位是不容置疑的。隨著現代科學技術的飛速發展，數學與其他科學之間的相互交叉，相互滲透，大量的數學方法在科學研究和各個生產領域被成功應用，這些都顯示了數學的巨大作用。高中數學的教學任務就是要通過教學活動讓學生掌握數學思想和方法，展示數學在解決實際問題中的適用性和有效性，并能用數學知識分析問題和解決實際問題的能力，使學生初步具備能深入自學數學的能力和應用數學的能力，即數學素質的培養。但現在的高中數學教育中，有許多令人不滿意的地方，改革也迫在眉睫，就高中數學教學而言存在以下幾個問題。

(1)教學內容的局限。眾所周知，現在高中數學課程的內容，大都是新舊交替，內容陳1日，基本上一應試教育為目的的框架，突出的問題為以理論知識和邏輯推導的傳授為主，主要尋求問題的解析解，缺乏數值計算，重在許許多多的變換技巧，缺乏現代數學的應用性，信息量少，不能體現現代數學方法，這使得高中數學內容滯后實際需要。同時這種重技巧的訓練使得課程內容多，而學時少，師生共同趕進度，于是犧牲應用，多講理論，深奧的理論使學生學習興趣不高，嚴重影響教學質量和學生求知用學的積極性，更不要說對學生進行數學素質教育了，學生的學習是為了應付考試，高中數學的學習進入一種不良循環，很多學生學習厭倦，當用到數學知識時，才感到數學的重要，為時已晚。

(2)現代技術的教育手段運用不足。高中數學在強調數學素質教育，創新能力培養的今天，教學手段也應不斷更新，各種數學軟件包，計算機輔助教學以及數學實驗的介人，使得我們的教學手段更具有現代化，效果更好。而這些工具我們很少用到高中數學的教學中，依然是教師在黑板上重復著定理的推導，定理的證明，學生在聽的單一教學方式，這樣很難減少課時數，很難改變學生被動學習的狀態，不能實現師生互動，雙向交流。

2．實施教學改革的探索。在教學中，通過師生交流和相互作用，教師要激發學生學習數學的興趣，注重不同學生的素質，教授給符合學生要求的數學知識，真正培養學生分析，解決問胚的能力。這些問題是培養創新意識的關鍵，也是提高學生數學素質關鍵所在。

(1)注意精講，幫助學生理解深度知識。學生的年齡特點，知識經驗以及數學自身的特點，決定了一些數學內容需要深度講解。這些內容包括學生對某-此數學概念未建立之前而自身需要主動建構這個知識框架的數學內容；這些數學內容包含大量的邏輯上沒有聯系且遠離學生實際的事實，一些重要概念或不加證明的公理等。這些內容教師宜作深度講解，即采取精講的方法。對于高中數學中的導數概念、連續性、單調性、周期性定義等需要細致深入的精講，從其產生的知識背景及發展過程，以及數學家如何分析歸納這類現象和問題，而由此提出的新概念、新理論。從中把解決這類問題的過程、思想、力法展示給學生，以此建立相關概念并培養學生創新精神。

(2)注重抽象定理內容的解釋，體現數學思想。證明顯沒有經驗的學生最害怕的事情，而教師對知識的解釋則相對受歡迎，因為解釋通常被認為不像證明那樣形式化。從另外一方面來說，一個好的解釋里實際包含了一個形式證明的重要思想，集中精力于解釋定理里所包含的數學思想而不是證明，這樣并沒有削弱對定理內容的理解。我們重復一個被前人已證明過無數次的定理，學生對這個定理的內容并不一定理解，我們真正的目標是理解。、對于高中數學巾抽象內容，要求教師形象解釋，使學生理解，通過解釋來理解這些內容，而不是把重點放在證明。解釋其中包含的數學思想，了解其背后的數學精神，讓學生受到數學文化的熏陶，受到智慧的啟迪。

(3)積極開展數學建模教育。學習數學就足試圖用數學去解決實際問題，用數學語言盡力能刻畫實際問題，能把實際問題轉化成數學語言，而這一種轉化過程即就是數學建模。數學建模就是應用建立數學模型來解決各種實際問題的方法，也就是通過實際問題的抽象、簡化確定變量和參數，并應用某些“規律”建立起變量、參數問的確定的數學問題，求解該數學問題，解釋、驗證所得到的解，從而確定這個模型能否進一步推廣，解決實際問題。

(4)充分利用多媒體教學，使教學手段現代化。在強調素質教育的今天，教學手段也在不斷的更新，多媒體計算機、投影電視系統等高新技術在教學中發揮越來越火的作用。現代技術手段用于教學中，更能突出數學理論直觀再現，同時也突破了傳統課堂的教學方式，而且能促使學生更好的理解所學的內容，并能使學生面對實際問題，積極思考，主動參與，學生使用數學軟件加深了對數學概念與理論的深入理解。

高中數學證明方法范文第5篇

關鍵詞：高中數學；不等式；教學方法

一直以來，不等式都是高中數學的一個重要組成部分，也是高中數學中最為經典的內容之一，它是構成數學知識結構中必不可少的一部分，同時也是最難的要點之一。不等式反映了事物在量上的區別，是數學教學中的重要內容。同時不等式與很多其他知識也具有緊密的聯系，在很多涉及量的范圍以及最值的內容上基本都會用到它。結合自己的教學經驗，提出幾點關于高中數學課堂不等式教學的建議。

一、把握好不等式內容的教學要求

在高中數學課堂的不等式教學中，首先要準確地把握好教學要求，不能隨意地提高教學要求，而是應該在數學標準的具體要求下嚴格控制教學的深廣度。在課程標準的要求上，教材都給出了詳細的概括，對幾個教學內容都給了極為明確的教學要求，例如，在解含有絕對值的不等式時，只要求學生可以解幾種特殊類型的不等式即可，而不要求學生能夠解所有類型的含絕對值的不等式。同時在用數學歸納法證明不等式的時候，也只要求學生會證明一些簡單的問題等等。另外，在不等式以及數學歸納法的很多問題中，常常需要使用一些具有極強技巧性的恒等變形。教師在這個環節的教學中，應該控制這方面的教學要求，不能使整個教學陷于一種過于形式化且較為復雜的恒等變形之類的技巧之中去。此外，還不能對學生的要求過于高，不能以專業的水平來要求學生。對于絕大多數學生，需要通過一些極為簡單的問題使他們懂得這個知識的應用。

二、加強在教學方式方面的改進

現在的高中數學教學中仍然存在著一些極為嚴重的問題，對學生而言，最為主要的就是學習比較被動，一般都是通過接受式的方法進行學習，而作為教師一般都選擇灌輸式的教學方式，這樣就使得教師在教學中對學生的引導和啟發不夠，學生的探索意識不強，不能主動地去發現新問題，不能用很好的方法去解決問題。這就要求教師在教學中應該注重引導學生學習。例如，在對基本不等式講解時，教科書中就提出了一個讓學生自己思考的問題——“對于三個正數會有怎樣的不等式成立呢？”在學生證明了關于三正數的均值不等式后，又提出了一個關于一般均值不等式的解法；在證明完二維和三維的柯西不等式后，就出現了一個具有探究性的問題——“對比二維形式三維形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式嗎？”又如，“一般形式的三角不等式應該是怎樣的？”等等，這些具有探究性的問題在整個教材中隨處可見。教師就應該充分地利用這些問題，去引導學生在自己探究的過程中理解知識的應用過程。

三、借助幾何方法，使學生對不等式的理解更為直觀

不等式是通過數量關系來對整個現實世界進行刻畫的，因此，我們一般是通過用代數的方法來證明不等式的。要通過代數進行證明，一般需要經過一系列的變形，而其中的數量關系人們往往是不能直接看出來的。此時，就需要借助幾何方法，把不等式中的有關量恰當地用圖形中的幾何量表示出來，這樣，就能很好地表示出不等關系，使學生能夠很直觀地從幾何的角度理解很多重要的不等式的幾何背景。我們教科書中所呈現的不等式的幾何背景，往往能夠幫助學生很好地理解不等式的幾何本質。例如：絕對值的三角不等式是通過借助向量以及三角形的邊長關系表示的；柯西不等式是通過借助向量運算表示出來的等等。教師應該通過這樣的方式來引導學生在面對數學問題時能夠從幾何的角度進行思考，從而找到解決問題的方法。

四、注重數學思想方法

之所以強調數學思想方法的運用，是因為數學思想方法是通過思維活動對數學結構形式進行認知的核心。其中既包括知識內容的最基本的表象概念，也包括需要掌握一定知識所需要的思維方式。就高中數學而言，最為常用的數學思想方法主要有化歸、模型、遞推、分類、數形結合、函數與方程等，這些不僅是學生學習數學中不可缺少的數學方法，同時還是教師教學中的重要方法。高中數學中最為常用的思想方法有：分類討論思想、數形結合思想、轉化（化歸）思想、函數與方程思想等，這些方法都可以在不等式教學中進行滲透。

1.分類討論思想

分類討論思想是根據數學對象的本質屬性的異同點把數學對象分為不同種類的具有一定的從屬關系的數學思想方法。掌握分類討論思想對提高學生的理解能力以及對知識的整理和獨立獲得有重要幫助，同時還可以幫助學生形成較為嚴密的知識網絡。

2.數形結合思想

數形結合思想是通過用數解形或以形助數來處理數學問題。數形結合思想在整個高中數學教育中都是可以使用的。這一思想的具體運用體現在數軸、三角法、復數法、計算法和幾何題、向量法、圖解法、解析法等等。這些都是用數形結合思想使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，使問題更簡單地被解決。在不等式的教學中，教師更應充分地利用圖形以及圖象讓學生更清楚地理解知識。這些不等式問題的解決，如果利用數形結合思想，將不等式中的抽象思維和形象思維加以結合，就能使不等式的問題化困難為簡單。

3.轉化（化歸）思想

轉化思想是將已有的相關知識經驗，通過觀察、聯想以及類比等方式，把問題變換、轉化成容易解決的問題的思想方法。這個方法是讓學生形成一種化歸意識，在平時的學習中熟練地掌握各種知識的轉化，將復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化。例如，可以將多元方程通過轉化思想轉化為一元方程，將鈍角三角函數轉化為銳角三角函數，把高次的方程化為低次的方程等等。學生能將新學的知識運用到舊知識中去，在學習了新知識的同時又鞏固了舊知識。

4.函數方程思想

函數方程思想是在解決有些數學問題時，通過構造適當的函數或者方程將問題轉化為函數或者方程的思想，函數與方程之間是互相聯系的。例如，證明不等式離不開換元以及函數的單調性，函數方程思想有助于加深對數學知識的理解，對數學教學具有重要意義。

不等式在整個高中數學中的作用極其重要。作為教師，在對不等式進行教學時，要引導學生逐步地學會自我學習，這樣有助于知識更容易被吸收，也更牢固。通過以上高中數學不等式教學方法的探討，希望可以給教師的授課以及學生的學習帶來幫助。

參考文獻：

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［2］張希運.淺談高中數學中關于最優化的函數模型［J］.新校園：理論，2010（11）.

［3］陳業.高中數學不等式解法及應用［J］.黑河教育，2010（11）.

［4］鄭珺影.教學思維在高中數學不等式教學中的作用［J］.考試周刊，2008（40）.

［5］彭永中.由一道絕對值不等式題看初高中數學銜接教學［J］.新課程：教育學術，2011（04）.

［6］靳國林.淺談高中數學的解題策略［J］.高中數理化，2012（10）.