四則運(yùn)算法則

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四則運(yùn)算法則范文第1篇

關(guān)鍵詞：德育課程;四則運(yùn)算;課程資源;課程作用;課程任務(wù)

作者簡(jiǎn)介：孔祥淵，北京師范大學(xué)教育學(xué)部，博士研究生

當(dāng)前，德育課程存在著實(shí)效性低下、利用開(kāi)發(fā)不足等問(wèn)題。探究起來(lái)，我們未能全面、靈活地處理德育課程，肯定是重要原因之一。本文借用四則運(yùn)算的形式，試對(duì)德育課程恰當(dāng)處理加以探討。

一、加法：課程要素的不斷完善

德育課程中的加法，顧名思義，是指我們需要向德育課程中添加一些要素。社會(huì)始終處于不斷發(fā)展變化過(guò)程中，作為社會(huì)子系統(tǒng)的教育以及作為社會(huì)“法定文化”的課程，必然需要對(duì)社會(huì)的發(fā)展做出反應(yīng)。對(duì)德育課程而言，我們需要讓學(xué)生了解一些新的道德知識(shí)與道德觀念。這意味著在德育課程中，我們首先要添加的是一些知識(shí)性的內(nèi)容。例如，我們需將不斷產(chǎn)生的新的道德知識(shí)加入到已有課程之中，或者發(fā)展、建構(gòu)一門嶄新的德育課程。當(dāng)前，我們?cè)谶@個(gè)方面已經(jīng)取得了一定的成績(jī)。但需要注意的是，加法不僅僅意味著知識(shí)性內(nèi)容的添加，還意味著價(jià)值性與專業(yè)性的增強(qiáng)，而后者是更為根本、更為重要的。

德育課程需要受到價(jià)值性考量。對(duì)學(xué)生進(jìn)行價(jià)值性引導(dǎo)是德育課程的重要任務(wù)之一。完成這一任務(wù)的重要前提就是德育課程本身的價(jià)值性。首先，是知識(shí)的選擇方面。“不僅所有的知識(shí)都是受著價(jià)值引導(dǎo)的，而且所有知識(shí)本身是體現(xiàn)一定的價(jià)值要求的。”[1]對(duì)知識(shí)進(jìn)行選擇，指的是我們需要保證德育課程中所呈現(xiàn)的知識(shí)是符合社會(huì)基本價(jià)值取向的、積極向上的。其次，是課程的應(yīng)用價(jià)值方面。在這個(gè)方面，我們需要考量的是課程的情境價(jià)值。課程有無(wú)價(jià)值，在一定程度上是由其所應(yīng)用的領(lǐng)域決定的。例如，對(duì)于官員而言，廉政課程具有一定的價(jià)值。但是，當(dāng)我們把廉政課程放到學(xué)校中，對(duì)學(xué)生進(jìn)行廉政教育時(shí)，這一課程的價(jià)值就會(huì)變?nèi)酢?duì)課程的應(yīng)用價(jià)值進(jìn)行考量，目的是保證學(xué)生在固定的時(shí)間里得到最適合的德育內(nèi)容。最后，是課程的實(shí)施方面。當(dāng)前，德育課程較為強(qiáng)調(diào)活動(dòng)性、娛樂(lè)性等因素。這么做，在產(chǎn)生許多積極影響的同時(shí)也可能帶來(lái)一些消極的后果。正如檀傳寶老師指出的那樣：如果處理不慎，“一個(gè)可怕的結(jié)果必然是，孩子什么都學(xué)到了，就是沒(méi)有學(xué)到本該學(xué)到的最重要的東西――‘德’”[2]。因而，我們需要增強(qiáng)德育課程的價(jià)值性，通過(guò)價(jià)值性的考量保證德育內(nèi)容及其應(yīng)用、實(shí)施方面的價(jià)值性。

德育課程還需要得到專業(yè)性審視。德育課程具有自身的專業(yè)性，因而其不能僅僅受到價(jià)值性考量，還需要得到專業(yè)性審視。根據(jù)檀傳寶老師《再論“教師德育專業(yè)化”》所說(shuō)，一般情況下，德育課程的專業(yè)性可以分為兩個(gè)方面：一是德育學(xué)科的專業(yè)性，一是教育學(xué)的專業(yè)性。相應(yīng)地，我們對(duì)德育課程的專業(yè)性審視也應(yīng)分為兩個(gè)方面：在德育學(xué)科的專業(yè)性方面，我們需要審視構(gòu)成德育課程的知識(shí)是否符合相關(guān)學(xué)科的專業(yè)性要求以及實(shí)施德育課程的教師是否具有相關(guān)學(xué)科的專業(yè)知識(shí);在教育學(xué)的專業(yè)性方面，我們需要了解課程知識(shí)的組織與呈現(xiàn)是否符合教育學(xué)、心理學(xué)相關(guān)理論的要求，同時(shí)，作為課程實(shí)施者的教師，是否具有相應(yīng)的教育學(xué)、心理學(xué)知識(shí)與技能。

總而言之，德育課程的加法，指的是我們需要不斷地向德育課程中增加各種相關(guān)知識(shí)、價(jià)值性與專業(yè)性。

二、減法：課程資源的優(yōu)化處理

德育課程中的減法，主要目的是使德育課程得到精簡(jiǎn)。之所以要在德育課程中做減法，其原因有二：第一，單純的加法會(huì)給德育甚至教育帶來(lái)諸多消極影響。當(dāng)前，許多教育內(nèi)容都以“德育”的名義進(jìn)入校園，成為學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在這種情況下，德育成為裝各種東西的“筐”。一方面，它影響了德育的專業(yè)性與邊界，讓人們對(duì)德育質(zhì)疑，造成了德育的低效甚至無(wú)效;另一方面，它在壓縮真正德育時(shí)間的同時(shí)，也不斷侵占著整個(gè)教育教學(xué)的時(shí)間，影響了正常的教育教學(xué)。第二，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，德育課程中的加法不可能一直持續(xù)下去。眾所周知，教育中的時(shí)間是有限的。因此，德育內(nèi)容必須保持在一定的限度之內(nèi)。否則，單純的加法不僅會(huì)影響德育的開(kāi)展，甚至還會(huì)對(duì)整個(gè)教育造成顛覆性的破壞。基于上述兩點(diǎn)考慮，筆者認(rèn)為，德育課程中的加法是必要的，減法也是不可或缺的。

在德育課程中做減法，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是將現(xiàn)有的課程資源進(jìn)行優(yōu)化處理。根據(jù)課程的邊界，德育課程資源的優(yōu)化處理可以分為兩個(gè)方面：一是德育課程內(nèi)部資源的優(yōu)化處理，二是各個(gè)課程中德育資源的優(yōu)化處理。

優(yōu)化處理德育課程內(nèi)部的資源，指的是對(duì)現(xiàn)有的德育課程進(jìn)行精簡(jiǎn)與綜合。這主要有兩種方式：第一，精簡(jiǎn)甚至是刪減一些課程內(nèi)容。隨著社會(huì)的發(fā)展變化，一些課程內(nèi)容逐漸不符合社會(huì)現(xiàn)實(shí)狀況。對(duì)于這部分內(nèi)容，我們需要對(duì)其進(jìn)行重新梳理，根據(jù)社會(huì)的發(fā)展?fàn)顩r對(duì)其進(jìn)行精簡(jiǎn)甚至是刪減。第二，整合德育課程內(nèi)容。一般情況下，德育課程的編寫(xiě)會(huì)考慮知識(shí)的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性以及整個(gè)課程的邏輯性。在這種情況下，德育課程的部分內(nèi)容有時(shí)會(huì)陷入繁雜與冗余之中。這就需要我們對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行整合。例如，在上課的過(guò)程中，我們可以在一定程度上打破教材前后順序以及邏輯結(jié)構(gòu)的束縛，以問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，將課程內(nèi)容進(jìn)行分析與綜合，從而實(shí)現(xiàn)課程內(nèi)部資源的整合。

優(yōu)化各個(gè)課程中的德育資源，則意味著我們要注意到各個(gè)課程之間的聯(lián)系性，并且充分利用各個(gè)課程的優(yōu)勢(shì)，吸取各課程中有益的資源開(kāi)展德育工作。在這個(gè)方面，我們可以采取專題德育或者主題德育的形式，綜合利用各個(gè)課程中的德育資源。例如，當(dāng)我們對(duì)學(xué)生進(jìn)行誠(chéng)信教育時(shí)，我們不僅可以利用德育課中的相關(guān)誠(chéng)信知識(shí)，還可以利用歷史課中的誠(chéng)信故事、語(yǔ)文課中有關(guān)誠(chéng)信的詩(shī)詞文章，甚至物理、化學(xué)課中一些科學(xué)家誠(chéng)信的事例搭建一個(gè)綜合的教育體系，對(duì)學(xué)生進(jìn)行誠(chéng)信方面的教育與指導(dǎo)。

由上面的論述可知，德育課程中的減法，實(shí)質(zhì)上就在于通過(guò)精簡(jiǎn)、刪減或者整合課程資源，減少特定教學(xué)內(nèi)容所需要的教學(xué)時(shí)間，從而達(dá)到節(jié)省整個(gè)教育教學(xué)時(shí)間以及師生精力的目的。

三、乘法：課程作用的多種發(fā)掘

眾所周知，乘法是加法的一種變形，其在一定程度上方便了計(jì)算。在德育課程中做的乘法，在某種程度上也是加法的變形。只不過(guò)，這種變形并不是簡(jiǎn)單的添加，而是對(duì)于課程作用的多種挖掘。換言之，我們需要充分開(kāi)發(fā)課程的多重作用與道德意蘊(yùn)。在這個(gè)方面，主要有兩種方式：一是運(yùn)用多種教育方式，充分發(fā)揮課程內(nèi)容的德育作用;二是深入開(kāi)發(fā)課程，充分挖掘課程內(nèi)容的德育內(nèi)涵。

課程作用的發(fā)揮，不僅僅受制于自身，在很大程度上還受到教育方式的影響。換言之，對(duì)于一種課程內(nèi)容，我們運(yùn)用的教育方式愈多，其可能發(fā)揮的作用也就愈多。“孔融讓梨”的故事就是一個(gè)明顯的例子。一般情況下，我們給學(xué)生講解這個(gè)故事時(shí)，主要讓學(xué)生了解“謙讓”。換言之，在講述故事的過(guò)程中，我們給予學(xué)生的基本上是有關(guān)“謙讓”的知識(shí)。之所以如此，與我們僅僅使用講述法密切相關(guān)。當(dāng)我們?cè)黾咏逃椒ǎ纾褂糜懻摲ā⒔巧缪莘〞r(shí)，我們就可以充分挖掘?qū)W生的道德情感，鞏固其正確的道德情感。并且，在這一過(guò)程中，促進(jìn)學(xué)生道德行為的發(fā)展。由此可以看出，通過(guò)運(yùn)用多種教育方式，我們可以發(fā)揮課程內(nèi)容的多重德育作用，促進(jìn)學(xué)生道德知、情、意、行多個(gè)方面的發(fā)展。

在德育課程中做乘法，除了使用多種方式發(fā)揮課程的多重作用之外，我們還可以通過(guò)挖掘課程內(nèi)容的多重意義予以實(shí)現(xiàn)。一般情況下，一個(gè)課程內(nèi)容具有多重教育意義，可是我們經(jīng)常習(xí)慣于使用其常規(guī)含義，而忽略其他較為豐富的意義。例如，我們?cè)谥v解“狼來(lái)了”故事時(shí)，一般以故事中放羊的孩子為重點(diǎn)，告誡學(xué)生們“誠(chéng)實(shí)”的重要性。這種思維有著悠久的歷史，以至于當(dāng)我們講起這個(gè)故事的時(shí)候，習(xí)慣性地認(rèn)為這個(gè)故事僅僅是告訴我們“誠(chéng)實(shí)”的有關(guān)道理。可是，當(dāng)我們將視角轉(zhuǎn)換一下，把故事中的主人公換成那些前來(lái)幫助的人時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)故事也傳達(dá)了另外一種道德品質(zhì)：助人為樂(lè)。因此，我們?cè)趯?duì)學(xué)生講解這個(gè)故事的時(shí)候，不僅要告訴他們“誠(chéng)實(shí)”的重要性，還要讓他們知道“助人為樂(lè)”的價(jià)值觀念。

綜上可見(jiàn)，一個(gè)看似簡(jiǎn)單的課程實(shí)質(zhì)上有著多重德育作用與意蘊(yùn)。因而，我們需要秉持“一課多用”的思想觀念，促使課程內(nèi)容產(chǎn)生疊加效應(yīng)。

四、除法：課程任務(wù)的多元分配

在德育課程中做除法，我們的目的并不是將德育任務(wù)平均的分為多個(gè)部分，而是將德育任務(wù)進(jìn)行多元分配，充分調(diào)動(dòng)各個(gè)方面的積極性開(kāi)展德育工作。正如許多研究者指出的那樣：德育并不僅僅是某一個(gè)特定機(jī)構(gòu)（如德育處）或者一個(gè)特定群體（如班主任）的事情，而是需要發(fā)揮學(xué)校所有人員的積極性。與此類似，承擔(dān)德育任務(wù)的課程不僅限于德育課程，而是涉及諸多課程。具體言之，從課程的專屬性上看，除專門的德育課程外，其他學(xué)科課程也負(fù)有對(duì)學(xué)生進(jìn)行德育的任務(wù)。從課程的類型上看，在學(xué)科課程之外，學(xué)校里的其他課程形式（如活動(dòng)課程）也具有一定的德育意義與功能。對(duì)于專門德育課程的任務(wù)，人們一般都易于了解。因此，我們主要從一般學(xué)科課程與活動(dòng)課程出發(fā)，對(duì)德育課程中的除法進(jìn)行分析。

第一，我們需要將德育任務(wù)分配到各個(gè)學(xué)科之中。這么做，并不是讓各個(gè)學(xué)科的教師都對(duì)學(xué)生耳提面命，開(kāi)展德育工作;而是讓學(xué)科教師充分利用學(xué)科課程中的隱性課程，影響學(xué)生的道德發(fā)展。所謂隱性課程，一般指課程計(jì)劃上沒(méi)有明確規(guī)定卻又對(duì)學(xué)生發(fā)揮著影響、未被人（有時(shí)特指學(xué)生）意識(shí)到的課程。隱性課程在發(fā)揮作用時(shí)具有“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的特征，容易為學(xué)生所接受。學(xué)科教師在教育學(xué)生時(shí)，應(yīng)該挖掘?qū)W科中的德育資源，并做到引而不發(fā)。例如，在物理、化學(xué)等課上，教師除了傳授學(xué)科知識(shí)外，還可以介紹一些科學(xué)家，并對(duì)其賦予“勤奮”“踏實(shí)”“誠(chéng)信”等特征，但是不對(duì)學(xué)生進(jìn)行這個(gè)方面的直接教育，而是將這些品質(zhì)在無(wú)形中傳遞給學(xué)生。

實(shí)際上，德育任務(wù)的學(xué)科分配，最為重要的就是分配給各位學(xué)科教師，充分調(diào)動(dòng)其積極性。在某種程度上，教師自身可以說(shuō)是學(xué)校中最大的隱性課程資源。從范圍上講，教師基本上貫穿于學(xué)生學(xué)校生活的整個(gè)過(guò)程。從效果上看，“教師的身教是一種自然而然的身教，對(duì)學(xué)生的品德可以起到潛移默化的作用”[3]，因此是較為有效的。

由上可知，將德育任務(wù)分配給學(xué)科教師，就是充分發(fā)揮學(xué)科課程與教師自身作為隱性課程的作用。

第二，我們需要賦予活動(dòng)課程一定的德育任務(wù)。活動(dòng)課程著眼于學(xué)生的活動(dòng)與直接經(jīng)驗(yàn)。因此，活動(dòng)課程在德育方面最大的優(yōu)勢(shì)就是將德育知識(shí)“活化”，促進(jìn)個(gè)體道德行為的出現(xiàn)與訓(xùn)練。基于此，我們分配德育任務(wù)時(shí)，應(yīng)該將一些道德行為型、活動(dòng)型任務(wù)分配到活動(dòng)課程中，促進(jìn)學(xué)生道德行為的成長(zhǎng)。

德育課程中的四則運(yùn)算，實(shí)質(zhì)上是全面、靈活課程觀念的一種反映。全面性是指課程本身、課程內(nèi)容的作用與意蘊(yùn)、課程的分布是較為全面的、整體的，靈活性則意味著課程作用的發(fā)揮因環(huán)境、時(shí)間、作用方式而異。因此，我們要因時(shí)制宜、因地制宜，充分發(fā)揮課程的作用。另外，在課程中做四則運(yùn)算時(shí)，我們也需全面、靈活發(fā)揮德育課程的相關(guān)作用。因此，我們要了解并學(xué)會(huì)德育課程中的四則運(yùn)算。

參考文獻(xiàn)：

[1]石中英.知識(shí)轉(zhuǎn)型與教育改革[M].北京：教育科學(xué)出版社，2001：157.

四則運(yùn)算法則范文第2篇

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6　〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2012）14—0086—02

極限作為一種數(shù)學(xué)思想，其發(fā)展經(jīng)歷了思想萌芽、理論發(fā)展和理論完善這三個(gè)過(guò)程，它的形成為人類認(rèn)識(shí)無(wú)限提供了強(qiáng)有力的工具，是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種重要思想方法.極限在高中數(shù)學(xué)里已有所涉及，是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，而求解極限是學(xué)習(xí)極限問(wèn)題的基礎(chǔ)，因此掌握求解極限的各種方法顯得非常重要.本文就極限的各種求解方法進(jìn)行了總結(jié)和分析.

1. 幾種常用的極限求解方法

（1）利用四則運(yùn)算法則求極限

對(duì)和、差、積、商形式的函數(shù)求極限，經(jīng)常使用四則運(yùn)算法則：

（an±bn）=an±bn；(an×bn )=an×bn；=（bn≠0）.

但在使用此法則時(shí)，往往需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形（常見(jiàn)的變形有：約分、通分、分式的分解、分子和分母有理化、三角函數(shù)的恒等變換等）.

（2）利用等價(jià)無(wú)窮小求極限

等價(jià)量代換是求解極限問(wèn)題常用方法之一，解題時(shí)要注意使用無(wú)窮小量進(jìn)行替換.在具體求極限過(guò)程中，要遵循以下等價(jià)無(wú)窮小替換原則：對(duì)函數(shù)的因子可進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小替換，該因子首先必須是無(wú)窮小量.下面列出幾個(gè)常用的無(wú)窮小量等價(jià)替換：

當(dāng)x0時(shí)，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x2；ex-1～x；ln（1+x）～x；-1～x

（3）利用兩個(gè)重要極限求極限

兩個(gè)重要極限分別是①=1；②(1+)x=e.

其中第一個(gè)重要極限=1可理解為==1，第二個(gè)極限(1+)x=e可以理解為

(1+）y=e或者（1+y）=e.這兩個(gè)重要極限是求極限的一種重要手段，要根據(jù)題目中給出的條件靈活選擇適當(dāng)?shù)男问剑惯\(yùn)算更加簡(jiǎn)潔.

（4）利用洛比達(dá)法則求極限

假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無(wú)窮大）時(shí)，函數(shù)f(x)和ɡ(x)滿足：

i) f(x)和ɡ(x)的極限都是0或都是無(wú)窮大

ii) f(x)和ɡ(x)都可導(dǎo)，且ɡ(x)導(dǎo)數(shù)不為0

iii) 存在（或是無(wú)窮大）

則極限也一定存在，且有=，此稱為洛必達(dá)法則.

洛必達(dá)法則是處理()型或()型的未定式極限的重要方法，在具體求解中，如果利用洛必達(dá)法則處理的結(jié)果還是()型或()型的，則可繼續(xù)利用洛必達(dá)法則去化簡(jiǎn)，直到化為最簡(jiǎn)為止.

（5） 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

由函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的定義知f(x)=f(x0)，由于初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)，所以求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)處的極限值，實(shí)質(zhì)上就是求函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值，因此利用函數(shù)的連續(xù)性求極限就是代入f(x)=f(x0)進(jìn)行計(jì)算.

2. 幾種特殊的極限求解方法

（1）變“無(wú)限多個(gè)”為“有限多個(gè)”求極限

利用極限的四則運(yùn)算法則求極限，不僅要求每個(gè)函數(shù)的極限存在，而且只能是有限多個(gè)函數(shù)的和、差、積.若是求“無(wú)限多個(gè)”函數(shù)極限，用恒等變換將“無(wú)限多個(gè)”函數(shù)的和、差、積變?yōu)椤坝邢薅鄠€(gè)”函數(shù)的和、差、積后，再利用四則運(yùn)算法則求出極限.

例1　求(1+a+a2+a3+……+an)(0

分析: 本題為“無(wú)限多個(gè)”函數(shù)之和的極限，它們構(gòu)成等比數(shù)列，用等比數(shù)列求和公式便可將“無(wú)限多個(gè)”函數(shù)之和變?yōu)椤坝邢薅鄠€(gè)”函數(shù)，再用四則運(yùn)算法則便可求得結(jié)果.

解：原式==（其中an+1=0，0

（2）利用泰勒展開(kāi)式求極限

利用泰勒公式求極限一般是用麥克勞林公式的形式，并采用皮亞諾型余項(xiàng).當(dāng)函數(shù)為分式時(shí)，一般要求分子分母展成同一階的麥克勞林公式，再通過(guò)比較求出極限.

例2　求.

解：由cosx=1- ++o(x5)，=1-++o(x5)，則cosx-=-+o(x5)，

四則運(yùn)算法則范文第3篇

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué) 四則運(yùn)算 常見(jiàn)錯(cuò)誤 解題方法

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）32-062

一、運(yùn)算順序錯(cuò)誤

學(xué)生都能記住運(yùn)算法則，但在實(shí)際運(yùn)用時(shí)卻會(huì)受到理解能力的影響，導(dǎo)致出錯(cuò)率較高。

又如，計(jì)算“8+3×（9.5-0.5×5）”時(shí)，很多學(xué)生會(huì)寫(xiě)成“8+3×（9×5）”，得到錯(cuò)誤的結(jié)果。對(duì)于這個(gè)題目，教師要盡力幫助學(xué)生避免定式思維，不讓他們隨意湊整數(shù)而顛倒了運(yùn)算的順序。

為此，教師在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)該經(jīng)常提醒學(xué)生：題目中有哪些類型的運(yùn)算？根據(jù)運(yùn)算法則應(yīng)該先算什么，再算什么？從而提高學(xué)生計(jì)算的正確率。

二、亂用運(yùn)算律

對(duì)于加法交換律和結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律和分配律等，應(yīng)避免學(xué)生濫用和錯(cuò)用。

教師應(yīng)該讓學(xué)生明確四則運(yùn)算的運(yùn)算律只有所學(xué)過(guò)的這幾種，不能隨意編造，還要鼓勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成驗(yàn)算的好習(xí)慣，提高運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確度。

三、點(diǎn)錯(cuò)小數(shù)點(diǎn)

在列豎式的四則運(yùn)算中，學(xué)生因?yàn)辄c(diǎn)錯(cuò)小數(shù)點(diǎn)而導(dǎo)致的錯(cuò)誤較多，嚴(yán)重影響了計(jì)算的正確率。

例如，對(duì)于題目“4.8×9.6-34.5÷4.6”，學(xué)生會(huì)寫(xiě)錯(cuò)成：

4.8×9.6-34.5÷4.6

=460.8-0.75

=460.05

正確的計(jì)算過(guò)程為

4.8×9.6-34.5÷4.6

=46.08-7.5

=38.58

不難發(fā)現(xiàn)，由于計(jì)算“4.8×9.6”時(shí)小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)錯(cuò)了，導(dǎo)致結(jié)果擴(kuò)大了十倍，而在計(jì)算“34.5÷4.6”時(shí)，把4.6擴(kuò)大十倍變成了46，而沒(méi)有把被除數(shù)34.5進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，所以得出的商也是錯(cuò)誤的。

為避免類似錯(cuò)誤的再次出現(xiàn)，教師應(yīng)該加強(qiáng)小數(shù)乘法中小數(shù)點(diǎn)位數(shù)和除法計(jì)算時(shí)小數(shù)與整數(shù)之間的轉(zhuǎn)化的教學(xué)。

四、漏抄漏算某數(shù)

學(xué)生注意力不集中、思維不活躍等，也容易導(dǎo)致他們?cè)谟?jì)算時(shí)漏抄漏算，最終計(jì)算錯(cuò)誤。

例如，計(jì)算“18÷2+12-9”時(shí)，有的學(xué)生雖然得出了正確的答案，但是計(jì)算過(guò)程存在問(wèn)題，即“18÷2+12-9=9+12=21-9=12”，有遺漏的情況。而在面對(duì)計(jì)算題“0.6×0.83+0.6×0.17+0.6”時(shí)，很多學(xué)生受到自身思維的限制，在計(jì)算的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)顧此失彼的情況，即“0.6×0.83+0.6×0.17+0.6=0.6×（0.83+0.17）=0.6”，忽略了0.6本身是0.6與1的乘積。

為此，教師應(yīng)該根據(jù)不同學(xué)生出現(xiàn)的不同問(wèn)題辨證施治，對(duì)于解題步驟存在問(wèn)題的學(xué)生，鼓勵(lì)他們多看課本上的例題，每一字每一步都按照課本上的范例操作；對(duì)于思維固化的學(xué)生，則培養(yǎng)他們的發(fā)散性思維，引導(dǎo)他們把題目看全面，可安排小組合作探究式學(xué)習(xí)；對(duì)于經(jīng)常看錯(cuò)題目的學(xué)生，教師則應(yīng)從培養(yǎng)學(xué)生的耐心和細(xì)心程度入手。

四則運(yùn)算法則范文第4篇

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；函數(shù)極限；計(jì)算

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）33-0097-03

極限是數(shù)學(xué)分析課程中最重要、最基本的概念之一.極限思想貫穿數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容的始終，極限計(jì)算是數(shù)學(xué)分析課程中的一個(gè)重要內(nèi)容.極限計(jì)算的方法分布在數(shù)學(xué)分析課程的不同章節(jié)，學(xué)生不能很好地系統(tǒng)地掌握極限計(jì)算的方法。對(duì)此筆者根據(jù)自己多年的教學(xué)在這方面進(jìn)行一些總結(jié)，對(duì)數(shù)學(xué)分析中的極限計(jì)算方法進(jìn)行系統(tǒng)的分析探討，讓學(xué)生掌握極限計(jì)算的各種方法，開(kāi)拓學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生的綜合解題能力。

一、極限計(jì)算的基本方法

1.利用極限的四則運(yùn)算法則計(jì)算極限。利用極限的四則運(yùn)算法則求極限是最基本、最直接的方法，但必需注意適用的條件極限.有時(shí)可以直接利用極限的四則運(yùn)算法則即能計(jì)算，有時(shí)可能無(wú)法直接利用極限的四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，這就要求我們對(duì)所給的對(duì)象進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形處理，然后再利用四則運(yùn)算法來(lái)計(jì)算。

2.利用兩邊夾定理計(jì)算極限。利用兩邊夾定理可將考慮的對(duì)象進(jìn)行適當(dāng)縮小和放大，從而得到原對(duì)象的極限。

3.利用單調(diào)有界準(zhǔn)則計(jì)算極限。這種方法適用于求數(shù)列的極限，應(yīng)用單調(diào)有界準(zhǔn)則計(jì)算數(shù)列的極限時(shí)，首先可用數(shù)學(xué)歸納法或不等式的放縮法來(lái)討論數(shù)列{xn}的單調(diào)性和有界性，然后再令■xn=a，然后解關(guān)于a的方程，從而求得出■xn=a.

4.利用兩個(gè)重要極限計(jì)算極限。利用兩個(gè)重要極限計(jì)算極限關(guān)鍵在于將考慮對(duì)象化成滿足重要極限條件的形式.

5.利用洛必達(dá)法則計(jì)算極限。這種方法適用求未定式■型和■型的極限計(jì)算，其他的未定式極限都需先化為■型或■型后再求極限，但要注意這種方法只適用于導(dǎo)數(shù)存在的形式。

6.利用函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算極限。因?yàn)橐磺谐醯群瘮?shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，所以如果f（x）是初等函數(shù)，且x0是f（x）的定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則■f（x）=f（x0），從而計(jì)算極限就等于計(jì)算該點(diǎn)處的函數(shù)值。以上方法是計(jì)算極限的基本方法，作為大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生是必須熟練掌握的。

二、極限計(jì)算的一些特殊方法

1.利用左右極限計(jì)算極限。函數(shù)f（x）在x0處極限存在的充要條件是在該點(diǎn)處它的左極限及右極限都存在且相等，且■f（x）=■f（x）=■f（x）.這種方法對(duì)分段函數(shù)求極限問(wèn)題應(yīng)用尤為重要，它是計(jì)算分段函數(shù)求極限問(wèn)題的有力工具。

例1.已知f（x）=2xx＞00 x=01+x2x＜0，求■f（x）.分析：由于f（x）是分階函數(shù)，計(jì)算f（x）在分階點(diǎn)處的極限只能通過(guò)計(jì)算該點(diǎn)處它的左極限及右極限得到■f（x）.而■f（x）=■2x=1，■f（x）=■（1+x2）=1，于是■f（x）=1.

2.利用無(wú)窮小的性質(zhì)計(jì)算極限。

例2.求■（x2+y2）sin■=0.分析：由于x2+y2在（x，y）（0，0）時(shí)是無(wú)窮小，sin■≤1是有界量，于是得到 ■（x2+y2）sin■=0.

3.利用等價(jià)無(wú)窮小計(jì)算極限。利用等價(jià)無(wú)窮小代換求函數(shù)的極限時(shí)，一般只在以乘除形式出現(xiàn)時(shí)使用，同時(shí)還應(yīng)該熟悉一些常用的等價(jià)無(wú)窮小。

例3.計(jì)算■■.分析：由于■-1：■（x0），1-cosx：■（x0），于是■■=■■=1.

4.利用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算極限。由于f'（x）=■■，從而可以利用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算極限。

例4.證明：若f'（x0）存在，則■■=2f'（x0）.分析：將題中極限表達(dá)式變形為導(dǎo)數(shù)定義中的極限形式表示即可證明。

5.利用定積分定義求極限。由于■f（x）dx=■■f（ξi）Δxi，因而可把黎曼和■f（ξi）Δxi的極限轉(zhuǎn)化為定積分■f（x）dx，轉(zhuǎn)化過(guò)程掌握好兩個(gè)關(guān)鍵：一是由f（ξi）確定被積函數(shù)f（x），二是由Δxi確定積分區(qū)間［a，b］.當(dāng)在定積分存在的前提下，我們選取區(qū)間［a，b］某種特殊的分割T和區(qū)間［a，b］一個(gè)特殊的點(diǎn)集{ξi}，可以得到一類特殊的和式的極限，從而可以利用定積分解決此類函數(shù)極限的求值，即當(dāng)所求極限的表達(dá)式或經(jīng)過(guò)變換后的表達(dá)式是一個(gè) n項(xiàng)和的形式時(shí)，可以考慮用定積分定義來(lái)計(jì)算， 其關(guān)鍵在于把和式寫(xiě)成積分和的形式。

例5.求■■sin■+sin■+…+sin■π.分析： 對(duì)所求極限進(jìn)行變形：■■sin■+sin■+…+sin■π=■■■sin=■g■.其中的和式是f（x）=sinx在［0，π］區(qū)間上的一個(gè)積分和.這里所取的是等分分割。Δxi=■，ξi=■為小區(qū)間 ［xi-1，xi］=■，■的左端點(diǎn)，i=1，2，…，n.于是■■sin■+sin■+…+sin■π=■■sinxdx=■（-cosx）π0=■.

6.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件計(jì)算極限。利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若■un收斂，則■un=0.運(yùn)用這個(gè)方法首先判定級(jí)數(shù)收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限。

例6.求■■.分析：設(shè)un=■，由比值判別法知■un收斂，這樣就得到了■■=0.

7.利用微分中值定理或積分中值定理計(jì)算極限。

例7.求■■sinnxdx.分析：由于sinnx在0，■滿足積分中值定理的條件，從而在0，■至少存在一點(diǎn)ξ使得■sinnxdx=sinnξ■-0=■sinnξ，于是■■sinnxdx=■■sinnξ=0.

8.利用麥克勞林展開(kāi)式或泰勒展開(kāi)式計(jì)算極限。設(shè)函數(shù)f（x）在x=0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義且f（n）（0）存在，則f（x）的具有皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林展展開(kāi)式為f（x）=f（0）+f'（0）x+■x2+…+■xn+0（xn），對(duì)某些較復(fù)雜的求極限問(wèn)題，可以利用基本初等函數(shù)帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式來(lái)求極限。

例8.計(jì)算■■.分析：利用基本初等函數(shù)帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式得到cosx=1-■+■+0（x4），e■=1+-■+■+0（x4）.于是將上兩式代入所求極限即得■■=-■.

9.利用級(jí)數(shù)的和函數(shù)計(jì)算極限。計(jì)算此類極限時(shí)常可以輔的構(gòu)造一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)使得要求的極限恰好是該函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)在某點(diǎn)的值。

例9.計(jì)算■■（-1）n■x2n+1.分析：設(shè)S（x）■（-1）n■x2n+1，從而只要計(jì)算出S（x）即能計(jì)算所求的極限。利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函的分析性質(zhì)容易計(jì)算出S（x）=arctanx，x∈［-1，1］，于是得到：■■（-1）n■x2n+1=■arctanx=■.

以上歸納了數(shù)學(xué)分析課程中計(jì)算極限的一些方法，當(dāng)然還有一些其他的計(jì)算方法.在講授完數(shù)學(xué)分析的課程之后，教師如果能系統(tǒng)地對(duì)極限計(jì)算方法進(jìn)行總結(jié)，并適當(dāng)布置一定的數(shù)量的課外習(xí)題讓學(xué)生去做，要求學(xué)生根據(jù)題目的不同靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ欢ㄆ鸬绞掳牍Ρ兜男Ч敲磳W(xué)生對(duì)有關(guān)極限的計(jì)算就比較容易解決了，從而培養(yǎng)提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：本文由國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11161018）和廣西教育廳科研項(xiàng)目（201010LX463、201106LX589）資助

四則運(yùn)算法則范文第5篇

關(guān)鍵詞：原函數(shù)；不定積分；第一類換元；第二類換元；三角代換；根式代換；分部積分

中圖分類號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號(hào)：1674-9324（2015）13-0178-02

在高等數(shù)學(xué)課程中，不定積分是較難的部分，它作為微分的逆運(yùn)算，比求極限、判斷連續(xù)、求微分（或求導(dǎo)）要難很多。首先，求極限、判斷連續(xù)、求微分（或求導(dǎo)）部分都有相應(yīng)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的法則，對(duì)基本初等函數(shù)都有很明確的結(jié)論，甚至對(duì)高等數(shù)學(xué)課程的主要研究對(duì)象――初等函數(shù)都有一套明確的處理套路，主要依據(jù)就是相應(yīng)部分的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的法則和對(duì)基本初等函數(shù)的明確結(jié)論。但對(duì)不定積分，我們僅有四則運(yùn)算法則的一部分，即加減部分：代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和。沒(méi)有對(duì)應(yīng)的乘積和商的積分性質(zhì)，也沒(méi)有復(fù)合函數(shù)的積分性質(zhì)。即便對(duì)基本初等函數(shù)，我們也不能簡(jiǎn)單地推出它們的積分公式。除了常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和一部分三角函數(shù)（包括正余弦函數(shù)）以外，剩下的基本初等函數(shù)的積分公式均是通過(guò)湊微分和分部積分的高等積分技巧推出的。對(duì)于一般的初等函數(shù)，相對(duì)統(tǒng)一的結(jié)論主要有兩個(gè)：（1）連續(xù)函數(shù)都存在原函數(shù)，即初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)存在原函數(shù)，（2）基本初等函數(shù)、有理函數(shù)、三角有理函數(shù)以及所有能轉(zhuǎn)化成上述函數(shù)的初等函數(shù)一定可以積出來(lái)。至于如何求一般的初等函數(shù)的原函數(shù)或不定積分，則沒(méi)有統(tǒng)一的套路。只能總結(jié)出幾類典型的形式積分法，主要包括：第一類換元、第二類換元法、分部積分法、有理函數(shù)的積分。這些技巧適用于不同類的被積函數(shù)，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)面對(duì)不同的被積函數(shù)，如何正確選擇適當(dāng)?shù)姆e分法是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)。因此，教師在教學(xué)和考試中，選擇恰當(dāng)?shù)睦邮鞘株P(guān)鍵的。例子要具有典型的特點(diǎn)，盡量可以一題多解，啟發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維。

下面，本文來(lái)介紹一個(gè)例子，這個(gè)例子有多種解法，這些解法中融合了第一類換元法（也稱湊微分法）、第二類換元法（包括三角代換、根式代換和非典型代換）、分部積分等典型的形式積分法，充分體現(xiàn)了這些積分法的綜合應(yīng)用，是一個(gè)很具有啟發(fā)性的例子。

例 dx.

法一：此法利用了第一類換元法。

解：原式=- dx+ dx

=- d（2x-x ）+ dx

=- +arcsin（x-1）+C

法二：此法利用了第二類換元法中的根式代換。

解：設(shè) =t則x=1+ ，dx= dt，（x=1- 時(shí)類似，略）此時(shí)

dx=- dt=- dt- 1dt=-arcsint-t+C=-arcsin - +C

法三：此法利用了第二類換元法中的根式代換。

解：設(shè)2x-x =t，則x=1+ ，dx=- dt，（x=1- 時(shí)類似，略）

dx=- dt

=- dt- dt

=- d（ ）- =-arcsin - +C

=-arcsin - +C

法四：此法綜合利用了第二類換元法中的根式代換和三角代換的思想。

解： dx= dx

設(shè) = sint，t∈[0， ），則x=2sin t，dx=4sin t cos t dt，此時(shí)

dx=4 sin t dt =2 1-cos 2t dt=2（t- sin 2t）+C=2t-2sin t cos t+C=2arcsin - +C（利用sin t= ，cos t= 回代得）

法五：此法利用了第二類換元法中的根式代換和分部積分法的循環(huán)型。

解： dx= dx

設(shè) =t，則x=t ，dx=2t dt ，此時(shí)

dx= dt

=-2 dt+4 dt

=-2 dt+4arcsin

對(duì)上式中第一項(xiàng)利用分部積分，得

dt=t - td（ ）

=t + dt

=t - dt+2 dt

=t - dt+2 dt

= t + dt

= t +arcsin +C

回到原題，有

dx= dx

=-2（ t +arcsin +C）+4arcsin

=-t +2arcsin +C

=- +2arcsin +C

法六：此法利用了第二類換元法中的根式代換和三角代換。

解：注意到法五中第一步作了根式代換后出現(xiàn)的積分 dt也可以用三角代換來(lái)解決，其余部分與法五同，略。

對(duì)于積分 dt，作三角代換t= sinu，u∈[- ， ]，則dt= cosudu，此時(shí)

dt= 2cos u du= 1+cos 2u du

=u+ sin 2u+C=u+sin u cos u+C

=arcsin + t +C？搖？搖 （利用sinu= ，cosu= 回代得）

回到原題，有

dx=- +2arcsin +C

法七：此法使用了第二類換元的根式代換和分部積分或三角代換，但是根式代換的具體形式不同。

解： dx= dx

設(shè) =t，則x=2-t ，dx=-2t dt，此時(shí)上式右端 dx=-2 dt

接下來(lái)，對(duì)于右端積分或者同法五利用分部積分，或者同法六利用第二類換元法中的三角代換，得

原式= dx=-2 dt

=-2[arcsin + ]+C

=-2arcsin - +C

致謝：本文作者受到“北京高等學(xué)校青年英才計(jì)劃項(xiàng)目（Beijing Higher Education Young Elite Teacher Project）”（No. YETP1593）資助。

參考文獻(xiàn)：