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一、觀系數(shù),易分組
例1分解因式:3 + 2 + 2 + 2.
分析:多項(xiàng)式中的一、三兩項(xiàng),二、四兩項(xiàng)的系數(shù)之比都為,把它們分別結(jié)合,易于分解.
解:原式=(3 + 2) + 2 + 2
=(2 + 2) + (2 + 2)
=(2 + 2)( + 1).
二、憶公式,助分組
例2分解因式:294 + 42.
分析:多項(xiàng)式中的第一、三、四項(xiàng)結(jié)合起來恰好是完全平方公式,再運(yùn)用平方差公式即可完成分解.
解:原式=(24 + 42)9
=(2)232
=(2 + 3)( 23) .
三、看次數(shù),利分組
例3 分解因式:2 ++ 24.
分析:把次數(shù)相同的項(xiàng)分別結(jié)合起來,有利于分解.
解:原式=(2 ++ 2)( + )4
=( + )23( + )4
=( ++ 1)( + 4).
四、先展開,再分組
例4分解因式:( + )2 + ()2.
分析:多項(xiàng)式只有“兩項(xiàng)”,且中間以“+”號連接,若把括號展開后再分組,問題就迎刃而解了.
解:原式=22 + 2 + 22 + 222 + 22
=(22 + 22)+(22+ 22)
=2(2 + 2) + 2(2 + 2)
=(2+ 2)(2 + 2).
五、選“主元”,巧分組
例5分解因式:225 + 22+ 75 + 3.
分析:以“ ”為主元,重新分組.
解:原式= 22+(75) + (225 + 3)
= 22 + (75) + (1)(23)
= [2(1)][(23)]
= (2 + 1)(2 + 3).
六、配方后,妙分組
例6分解因式:22+ 2 + 43.
分析:將多項(xiàng)式分別配成關(guān)于、的完全平方式,再用平方差公式進(jìn)行分解.
解:原式= (2 + 2 + 1)(24 + 4) = ( + 1)2(2)2
=( + 1 + 2)( + 1 + 2)
=( + 1)( + 3).
七、先換元,后分組
例7 分解因式:(1)2 + ( + 2)( + 2).
分析:若直接展開,項(xiàng)數(shù)太多,不利于分解,不妨設(shè) += , =,再進(jìn)行分組,就能化難為易.
解:設(shè) += , = ,則
原式=(1)2+(2)(2)
= 12 + 2+222 + 4
=(22 + 2)(22)+ 1
= ( + )2-2( +)+ 1
=( + 1)2 = [(1)(1)]2
=[(1)(1)]2 = (1)2(1)2.
八、先整體,再分組
例8 分解因式:(25)(252)24.
分析:解答此題時(shí),若先展開括號,整理后再分組,將會很麻煩.觀察此題兩括號內(nèi)都有25,因此可把25看作一個整體,然后來解.
解:原式 = (25)[(25)2]24
= (25)2(25)24
= (256)(25 + 4)
= (6)( +1)(4)(1).
九、添拆項(xiàng),促分組
例9 分解因式:(1)4 +4.
分析:將4 +4改寫成4+ 4242 + 4,然后分組分解.
解:原式= 4 + 4242+ 4 = (4 + 42 + 4)42
=(2 + 2)2(2)2 = (2 + 2 + 2)(22x + 2).
(2)4 + 3 + 6 2+5 + 5.
分析:把62拆為2 + 52,使分組能夠順利進(jìn)行.
解:原式=(4 + 3 + 2)+(52 + 5 + 5)
=2(2 ++ 1) + 5(2 ++ 1)
=(2 ++ 1)(2 + 5).
[例]某公司制造三種不同型號的機(jī)器A、B、C,某年度的預(yù)算與實(shí)際損益表如下所示(單位:萬元,以下均同):
從上表中可以清楚地看出,該公司的實(shí)際凈利比預(yù)算水平少三分之一。是什么原因引起利潤的差異呢?下面分四個層次對利潤差異進(jìn)行分析。
一、第一層次。第一層次是指將實(shí)際利潤與預(yù)算利潤進(jìn)行比較,最初始的利潤差異分析是:實(shí)際利潤比預(yù)期利潤少15(30-45)萬元(逆差)。
二、第二層次。在這個分析層次上,對損益表中每個主要項(xiàng)目的預(yù)算與實(shí)際經(jīng)營結(jié)果進(jìn)行比較(固定成本指可追溯固定成本與銷售和管理費(fèi)用之和)。
可以看出,只有變動成本比預(yù)算降低了,其他都是不利差異。
三、第三層次。在這個分析層次上,把公司業(yè)務(wù)水平的變化因素與成本、售價(jià)和經(jīng)營效率因素分開來,編制彈性預(yù)算。這里的彈性預(yù)算是指在給定了實(shí)際銷售量和銷售結(jié)構(gòu)的情況下,預(yù)期的利潤將是多少。彈性預(yù)算計(jì)算結(jié)果列表如下:
通過以上彈性預(yù)算的編制,我們可以計(jì)算第三層次的兩種差異:(1)銷售業(yè)務(wù)活動差異(2.5萬元),是因?yàn)槲磳?shí)現(xiàn)預(yù)計(jì)的銷售水平和結(jié)構(gòu)所致;(2)成本/售價(jià)/經(jīng)營效率差異(12.5萬元)是以實(shí)際銷售量為基準(zhǔn)計(jì)算預(yù)期利潤與實(shí)際利潤之間的差異,表示實(shí)際銷售的單價(jià)和成本變動帶來的影響。
四、第四層次。在這一層次上,對第三層次所說的兩種差異加以進(jìn)一步的分析。首先分析2.5萬元的銷售業(yè)務(wù)活動量差異,它可以分解為銷售量差異和銷售結(jié)構(gòu)差異,在計(jì)算這兩個差異之前,先計(jì)算加權(quán)邊際貢獻(xiàn):
加權(quán)邊際貢獻(xiàn)=(1,000×0.03+1,000×0.04+2,000×0.035)/(1,000+1,000+2,000)=0.035
反映由實(shí)物銷售量變化引起的預(yù)期邊際貢獻(xiàn)變化的銷售量差異計(jì)算如下:
銷售量差異=各產(chǎn)品的銷售數(shù)量差額×加權(quán)邊際貢獻(xiàn)
=(-200+0+100)×0.035=-3.5(逆差)
反映由銷售產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)變化所引起的預(yù)期邊際貢獻(xiàn)變化的銷售結(jié)構(gòu)差異計(jì)算如下:
銷售結(jié)構(gòu)差異=Σ[各產(chǎn)品的銷售數(shù)量差額×(各產(chǎn)品的單位邊際貢獻(xiàn)-加權(quán)邊際貢獻(xiàn))]
=-200×0(0.03-0.035)+0×(0.04-0.035)+100×(0.035-0.035)=1(順差)
因此可以看出,在2.5萬元的不利差異中,銷售量的減少使企業(yè)損失了3.5萬元;而由于企業(yè)減少了邊際貢獻(xiàn)較低的A產(chǎn)品的銷售,使企業(yè)少虧損了1萬元。
其次,12.5萬元的成本/售價(jià)/經(jīng)營效率差異(不利)分解為銷售價(jià)格差異和成本差異。計(jì)算如下:
銷售價(jià)格差異=實(shí)際收入-以實(shí)際銷售量水平計(jì)算的預(yù)算收入
=(81-80)+(200-200)+(300-315)=-14萬元(逆差)
變動成本差異=實(shí)際變動成本-以實(shí)際銷售量水平計(jì)算的預(yù)算變動成本
=(56-56)+(161-160)+(232-241.5)=-8.5(順差)
固定成本差異則已如以上分析為102-95=7(逆差)
第二層次分析中的8萬元邊際貢獻(xiàn)差異是許多不同的相互抵銷因素的總和,列示如下:
區(qū)域分解方法是構(gòu)造求解大規(guī)模代數(shù)方程組并行數(shù)值解的有效工具,是快速發(fā)展的新型重要計(jì)算方法之一。本書陳述了區(qū)域分解方法和空間分解方法的一般性理論,詳盡地分析和描述了并行計(jì)算的區(qū)域分解算法。作者給出了橢圓型問題的區(qū)域分解求解方法,并將計(jì)算結(jié)果與基本區(qū)域分解算法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析,顯現(xiàn)了作者所設(shè)計(jì)的區(qū)域分解算法的高效性。本書也首次給出了hp離散問題的DirichletDirichlet類型的區(qū)域分解方法,相比于其它的計(jì)算方法可說是最佳的。
全書共分9章:1.引言,主要內(nèi)容有DirichletDirichlet區(qū)域分解方法的回顧和區(qū)域分解方法的起源;2.Schwarz方法的基本原理,主要內(nèi)容有橢圓型問題及其離散、作為預(yù)條件的區(qū)域分解方法和收斂性分析;3.重疊區(qū)域分解方法,主要內(nèi)容有構(gòu)造性原理、離散廣義擬一致性條件、超覆蓋算法、小覆蓋收斂性損失和多水平區(qū)域分解算法;4.非重疊2維h FE離散的區(qū)域分解方法,主要內(nèi)容有h 離散的Schur補(bǔ)算法(Schur Complement)、DirichletDirichlet區(qū)域分解算法、DD算法框圖、DD預(yù)條件子(DD Preconditioning)的相對條件數(shù)、離散下延拓和DD算法的復(fù)雜性分析;5.三維橢圓型問題的BPS型DD預(yù)條件子,主要內(nèi)容有DD算法、有限元網(wǎng)格、DD預(yù)條件子構(gòu)造、局部Dirichlet問題與延拓、條件數(shù)和復(fù)雜性估計(jì);6.具有混沌分片各向異性的離散DD算法,主要內(nèi)容有調(diào)和函數(shù)的有界范數(shù)、離散調(diào)和函數(shù)的有界范數(shù)、有限差分有界范數(shù)、Schur補(bǔ)預(yù)條件子(Schur Complement Preconditioning)、正交離散和具有分片各向異性的離散區(qū)域分解算法;7.二維橢圓型方程的hp離散非重疊DD方法,主要內(nèi)容有DD預(yù)條件子的構(gòu)造及其相對條件數(shù)、延拓與有界擴(kuò)展分裂方法、p-元及其剛度矩陣與質(zhì)量矩陣、通過有限差分矩陣預(yù)處理剛度矩陣與質(zhì)量矩陣和參考元的Schur補(bǔ)預(yù)條件子(Schur Complement Preconditioning);8.二維參考元的快速Dirichlet求解器,主要內(nèi)容有分層參考元的快速Dirichlet求解器、L型區(qū)域中的Dirichlet問題的DD求解器的數(shù)值測試、二維譜參考元的快速Dirichlet求解器和二維DD方法的數(shù)值復(fù)雜性;9.三維橢圓型方程hp離散的超覆蓋DirichletDirichlet DD算法,主要內(nèi)容有DD算法的一般構(gòu)造與Schur補(bǔ)預(yù)條件子、參考元與有限差分預(yù)條件子和積分問題的快速預(yù)條件處理求解器。最后給出的是兩個附錄,附錄A定理證明;附錄B簡寫與記號。
本書適合計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理和應(yīng)用物理學(xué)專業(yè)的研究生閱讀和參考。對從事工程數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理研究的科研人員也是有益的讀物。
朱永貴,博士,教授
(中國傳媒大學(xué)理學(xué)院)
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
(一)知識教學(xué)點(diǎn):1.正確理解因式分解法的實(shí)質(zhì).2.熟練掌握運(yùn)用因式分解法解一元二次方程.
(二)能力訓(xùn)練點(diǎn):通過新方法的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力及探索精神.
(三)德育滲透點(diǎn):通過因式分解法的學(xué)習(xí)使學(xué)生樹立轉(zhuǎn)化的思想.
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法
1.教學(xué)重點(diǎn):用因式分解法解一元二次方程.
式)
3.教學(xué)疑點(diǎn):理解“充要條件”、“或”、“且”的含義.
三、教學(xué)步驟
(一)明確目標(biāo)
學(xué)習(xí)了公式法,便可以解所有的一元二次方程.對于有些一元二次方程,例如(x-2)(x+3)=0,如果轉(zhuǎn)化為一般形式,利用公式法就比較麻煩,如果轉(zhuǎn)化為x-2=0或x+3=0,解起來就變得簡單多了.即可得x1=2,x2=-3.這種解一元二次方程的方法就是本節(jié)課要研究的一元二次方程的方法——因式分解法.
(二)整體感知
所謂因式分解,是將一個多項(xiàng)式分解成幾個一次因式積的形式.如果一元二次方程的左邊是一個易于分解成兩個一次因式積的二次三項(xiàng)式,而右邊為零.用因式分解法更為簡單.例如:x2+5x+6=0,因式分解后(x+2)(x+3)=0,得x+2=0或x+3=0,這樣就將原來的一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程,方程便易于求解.可以說二次三項(xiàng)式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的關(guān)鍵.“如果兩個因式的積等于零,那么兩個因式至少有一個等于零”是因式分解法解方程的理論依據(jù).方程的左邊易于分解,而方程的右邊等于零是因式分解法解方程的條件.滿足這樣條件的一元二次方程用因式分解法最簡單.
(三)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過程
1.復(fù)習(xí)提問
零,那么這兩個因式至少有一個等于零.反之,如果兩個因式有一個等于零,它們的積也就等于零.
“或”有下列三層含義
①A=0且B≠0②A≠0且B=0③A=0且B=0
2.例1解方程x2+2x=0.
解:原方程可變形x(x+2)=0……第一步
x=0或x+2=0……第二步
x1=0,x2=-2.
教師提問、板書,學(xué)生回答.
分析步驟(一)第一步變形的方法是“因式分解”,第二步變形的理論根據(jù)是“如果兩個因式的積等于零,那么至少有一個因式等于零”.分析步驟(二)對于一元二次方程,一邊是零,而另一邊易于分解成兩個一次式時(shí),可以得到兩個一元一次方程,這兩個一元一次方程的解就是原一元二次方程的解.用此種方法解一元二次方程叫做因式分解法.由第一步到第二步實(shí)現(xiàn)了由二次向一次的“轉(zhuǎn)化”,達(dá)到了“降次”的目的,解高次方程常用轉(zhuǎn)化的思想方法.
例2用因式分解法解方程x2+2x-15=0.
解:原方程可變形為(x+5)(x-3)=0.
得,x+5=0或x-3=0.
x1=-5,x2=3.
教師板演,學(xué)生回答,總結(jié)因式分解的步驟:(一)方程化為一般形式;(二)方程左邊因式分解;(三)至少一個一次因式等于零得到兩個一元一次方程;(四)兩個一元一次方程的解就是原方程的解.
練習(xí):P.22中1、2.
第一題學(xué)生口答,第二題學(xué)生筆答,板演.
體會步驟及每一步的依據(jù).
例3解方程3(x-2)-x(x-2)=0.
解:原方程可變形為(x-2)(3-x)=0.
x-2=0或3-x=0.
x1=2,x2=3.
教師板演,學(xué)生回答.
此方程不需去括號將方程變成一般形式.對于總結(jié)的步驟要具體情況具體分析.
練習(xí)P.22中3.
(2)(3x+2)2=4(x-3)2.
解:原式可變形為(3x+2)2-4(x-3)2=0.
[(3x+2)+2(x-3)][(3x+2)-2(x-3)]=0
即:(5x-4)(x+8)=0.
5x-4=0或x+8=0.
學(xué)生練習(xí)、板演、評價(jià).教師引導(dǎo),強(qiáng)化.
練習(xí):解下列關(guān)于x的方程
6.(4x+2)2=x(2x+1).
學(xué)生練習(xí)、板演.教師強(qiáng)化,引導(dǎo),訓(xùn)練其運(yùn)算的速度.
練習(xí)P.22中4.
(四)總結(jié)、擴(kuò)展
1.因式分解法的條件是方程左邊易于分解,而右邊等于零,關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的知識,理論依舊是“如果兩個因式的積等于零,那么至少有一個因式等于零.”
四、布置作業(yè)
教材P.21中A1、2.
教材P.23中B1、2(學(xué)有余力的學(xué)生做).
2.因式分解法解一元二次方程的步驟是:
(1)化方程為一般形式;
(2)將方程左邊因式分解;
(3)至少有一個因式為零,得到兩個一元二次方程;
(4)兩個一元一次方程的解就是原方程的解.
但要具體情況具體分析.
3.因式分解的方法,突出了轉(zhuǎn)化的思想方法,鮮明地顯示了“二次”轉(zhuǎn)化為“一次”的過程.
五、板書設(shè)計(jì)
12.2用因式分解法解一元二次方程(一)
例1.……例2……
二、因式分解法的步驟
(1)……練習(xí):……
(2)…………
(3)……
(4)……
但要具體情況具體分析
六、作業(yè)參考答案
教材P.21中A1
(1)x1=-6,x2=-1
(2)x1=6,x2=-1
(3)y1=15,y2=2
(4)y1=12,y2=-5
(5)x1=1,x2=-11,
(6)x1=-2,x2=14
教材P.21中A2略
(1)解:原式可變?yōu)椋海?mx-7)(mx-2)=0
5mx-7=0或mx-b=0
又m≠0
(2)解:原式可變形為
(2ax+3b)(5ax-b)=0
2ax+3b=0
或5ax-b=0
a≠0
教材P.23中B
1.解:(1)由y的值等于0
得x2-2x-3=0
變形為(x-3)(x+1)=0
x-3=0或x+1=0
x1=3,x2=-1
(2)由y的值等于-4
得x2-2x-3=-4
方程變形為x2-2x+1=0
(x-1)2=0
解得x1=x2=1
當(dāng)x=3或x=-1時(shí),y的值為0
當(dāng)x=1時(shí),y的值等于-4
教材P.23中B2
證明:x2-7xy+12y2=0
(x-3y)(x-4y)=0
摘要:本文在對紡織品采用手工分解法進(jìn)行含量分析時(shí),采取經(jīng)緯紗根數(shù)比取樣的方式進(jìn)行試驗(yàn)并計(jì)算,所得數(shù)據(jù)與常規(guī)方法所得數(shù)據(jù)基本一致,該方法大大縮短試驗(yàn)時(shí)間,提高了工作效率。
關(guān)鍵詞:紡織品;纖維含量分析;重量法;方法改進(jìn)
1 引言
對紡織品含量的分析方法主要有溶解法和重量法(即手工分解法)。溶解法主要是針對不同纖維在不同試劑中的溶解性能,將不同種類的纖維分離出來,再通過計(jì)算得出各組分的含量[1]。而手工分解法是通過手工的方法將不同組分的纖維分離出來,計(jì)算出各組分含量。兩種方法相比較而言,溶解法的覆蓋面更為廣泛,而手工分解法縮短了試驗(yàn)時(shí)間,但存在著一定的局限性;在試驗(yàn)過程中,溶解法所使用的化學(xué)試劑對人體和環(huán)境都有一定的危害,并且在溶解過程中會出現(xiàn)溶解不充分、樣品掉色等問題,引起分析結(jié)果的系統(tǒng)誤差,而手工分解法不存在這些問題。兩種方法各有利弊,在樣品符合手工分解法的條件下最好采用該方法進(jìn)行試驗(yàn),本文就如何改進(jìn)手工分解法進(jìn)行試驗(yàn)與探討。
2 試驗(yàn)
2.1 試驗(yàn)原理
鑒別出纖維組分的紡織品通過適當(dāng)?shù)姆椒ㄈコ抢w維物質(zhì)后,用手工分解法分解紡織品中不同種類的纖維,通過烘干、干燥、稱重,得到各個組分在原試樣中所占百分比[2]。
2.2 適用范圍
織物各個組分單獨(dú)存在,通過手工分解方法可以分離不同種類的纖維的各種紡織品。
2.3 試驗(yàn)儀器
分析天平(精度0.0001 g);恒溫鼓風(fēng)烘箱(105±3)℃;干燥器(裝有變色硅膠);稱量皿;拆樣用挑針;鑷子;絨板。
2.4 試樣準(zhǔn)備
棉/聚酯纖維/氨綸、棉/氨綸混紡的機(jī)織面料。
2.5 試驗(yàn)步驟
方法一:依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)gb/t 2910.1—2009進(jìn)行取樣拆分;將拆分完畢的式樣分別放入稱量皿,做好標(biāo)記。在烘箱中烘干至恒重,在干燥皿中冷卻至室溫,稱重,計(jì)算[3]。
方法二:根據(jù)經(jīng)緯紗的根數(shù)比,拆分總量約1/3的經(jīng)緯紗;將拆分完畢的試樣分別放入稱量皿,做好標(biāo)記。在烘箱中烘干至恒重,在干燥皿中冷卻至室溫,稱重、計(jì)算。
3 結(jié)果與討論部分
3.1 結(jié)果計(jì)算
(1)
式中:
pi——第i組分凈干質(zhì)量分?jǐn)?shù),%;
mi——第i組分凈干質(zhì)量,g;
mz——試樣總凈干質(zhì)量,g。
3.2 試驗(yàn)結(jié)果
按照上述兩種方法對樣品進(jìn)行定量測試,結(jié)果如表1所示。
3.3 試驗(yàn)討論
3.3.1 理論分析
以棉/氨綸試樣為例(見圖1),其中t方向?yàn)槊蓿瑆方向?yàn)榫埘ダw維/氨綸。計(jì)算公式為(2)和(3)。
mz = mt+ mw=mc+ma+mb (2)
mz = mtc+ mwc+mwa=nt×dtc+nw×dwc+nw × da (3)
其中:mz——式樣的總重量;mt——經(jīng)紗的重量;mw——緯紗的重量;mc——棉的重量;ma——氨綸的重量;mb——聚酯纖維的重量。mtc——經(jīng)紗棉的重量;mwc——緯紗棉的重量;mwa——經(jīng)紗氨綸的重量;nt——經(jīng)紗根數(shù);nw——緯紗根數(shù);dtc——經(jīng)向棉單根重量;dwc——緯向聚酯纖維單根重量;da——緯向氨綸單根重量。
3.3.2 方法分析
以試樣1數(shù)據(jù)為例(如表2所示)。該試樣總重為0.2574 g,其中經(jīng)紗(棉)共328根;緯紗(聚酯纖維/氨綸)共204根。經(jīng)紗緯紗根數(shù)比約等于8:5,所以取經(jīng)紗109根、緯紗68根得到第二組數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)顯示,第二組重量約為第一組重量的1/3,兩組數(shù)據(jù)最大偏差僅為1.0%(小于fz/t 01053—2007《紡織品 纖維含量的標(biāo)識》所規(guī)定的含量允許偏差,即纖維允許偏差為±5%,當(dāng)纖維含量≤15%時(shí),纖維含量的允許偏差為實(shí)測值的30%)[4],而拆分時(shí)間縮短了一半。
試樣3(見表3)試樣總重為0.2271 g,棉/氨綸一共171根,按照方法二拆分了1/3(即57根)的棉/氨綸混紡紗,在計(jì)算時(shí)氨綸重量乘以3再除以總重。數(shù)據(jù)顯示,兩組數(shù)據(jù)偏差為0.1%,證實(shí)了方法的可行性。
4 總結(jié)
1) 理論和試驗(yàn)表明,采用按經(jīng)緯紗根數(shù)比取樣進(jìn)行含量分析的方法可行,兩次試驗(yàn)的含量差均小于標(biāo)準(zhǔn)中所規(guī)定的含量允許偏差。
2) 采用按經(jīng)緯紗根數(shù)比取樣的方法進(jìn)行定量分析,大大縮短了取樣時(shí)間,提高了工作效率。
3) 該方法同樣適用于粘纖/聚酯纖維/氨綸、棉/錦綸/氨綸等同種織造類型的織物。
參考文獻(xiàn):
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